IB. IB
lim '
lA
IB
(ju en lin lim — =
On peut démontrer ce dernier théorème par le calcul, d’une manière assez simple; cependant la démonstration géométrique a l’avantage. Voici la démonstration analytique (jue nous proposerions ;
Equation de la courbe AH. . . y = ® (j^) ;
( i) E([uaiion de la corde AH .... y = «.r ■+■ l>\
condition d'invariabilité du segment ,
( ?, ^ \'^ [.r] — nx — b\ dx = const.
Si 1 on difieienlie l'équation (i) par l apjHJi l au parainéli c a , ni V regardant b comme une l'onction implicite de a , déterminée par l’équation (a), il vient
,n, . , ilb
l.c point de contact cherché sera détcrininé par le système
des équations (i) et (3), après ipi’on y aura remplacé
par sa valeur tirée de l’équation (a). En dill'érentiant sous le signe somme , on a
y '.r I ) — «j:, — b ~ u, ■? ( •ro ) — a.r, — o , et, si l’on ctlectue rinté£{ration iuditpiée , il reste
ll'où
lût
<iette valeur, snhstituée dans i'éiptatiou (3), donne, pour l’abscisse du point de contact de la corde et de l’enveloppe.
(’,e (jui démontre le théorème énoncé.
■i. ü enveloppe tics cordes de contact d'un angle T invariable , circonscrit à une courbe plane, touche chaque corde eu un point qui la divise en deux segments proportionnels aux projections des rayons de courbure adjacents sur la direction de la corde ( lig. 1 6 ) .
Soient Af>, A' 15' deux positions inliiiimcnt voisines de la
r.XERCK'.KS I) ANALYSE. 1^7
corde rte cou tact; <», çp' les angles que les langeiUes AI’, H 1’ font avec une droite fixe; AC, HD les rayons de courbure des points A et H.
Puisque l’angle A'I’B doit rester invariable , oti aura «)) — Ÿ'=const. ; d’où dn^ — d^^'.
