AA' BB
mm' mm'
Or, à cause des triangles semblables (mPm', APA') , (»«T;n', I5T1Î'), on a, en prenant toujours les rappoits à leurs limites,
AA' PA 4 rt — /^ BB' 4^1 — p' mm' Vm p ' mm' p'
Substituant dans l’équation précédente, il vient
La figure suppose le point lumineux P intérieur au cercle.
Si le point P était extérieur au cercle, il faudrait changer le signe de p dans la formule ( 1 ).
Nous nous bornerons à considérer le cas où le point P est situé sur la circonférence irlii cercle rèjléctcur (fig. 19 ).
Sidansl’i-quation (i) on fait p — 4«, on en tire p' ='-a -, c’est-à-dire mT = Le rayon réfléchi touche la caus-
tifjue. en uh point dont la distance au point d incidence est le tiers de la corde que produit ce rayon.
Si l’on pi'end sur le prolongement de PO une distance OK égale au tiers du rayon du cercle , A K sera égale à -j P.A ; en sorte ([ue le point II .sera celui où la caustique rencontre
1 lO
UKlIXir.MK 1‘ARTIK.
le diamèli’c l'A (jiii est à la" fois rayon inricleiit cl réilédii. (a; (liainètre est évideninieiu un axe de la courbe.
Un cercle décrit .sur PH comme diamètre, interceptera sur chaque rayon incident P//t un segment égal aux }dccc rayon; par consétjucnt, le .segment exlfu-ieur sera précisément égal au rayon réfléchi /«T, ce qui fournit un moyen simple de construire la caustique par points.
La droite HT est parallèle à la normale Ont. En eflet , Orn étant bissectrice de l’angle P/nS, on a OS OP iOP OR m S m P 7 P T
Celte propriété fournirait aussi une construction graphique de la caustique. I^’équation de cette courbe en coordonnées polaires s’en déduit Iri-s-siinplement. En effet, prenons le point 11 pour pôle et le dtamètnî PH A pour axe, et posons HT = /•, angle TH.\ = 6, Om — ô. En projetant le contour polygonal ÜHTn/ sur Om, on a
Om = OR ens 9 -I- RT -|- ;/)T cos j 0, ou
h ~ ti cos 9 -h c -f- 4 ^ cos’ 4 6 ;
d’où l’on lire
r — ~b[\ — ros 9).
Ta caustique est donc une épicycloïde engendrée par un point de la circonférence d’un cercle de rayon roulant
sur un cercle fixe de meme rayon et concentrique au cercle réflecteur.
(iette épicycloïde touche l’axe de symétrie PA au point R, qui est un point de rebroussement, et elle a en P uji contact du deuxième ordre avec le cercle réflecteur.
(Cherchons la longueur de l’arc P/iT que nous désignerons par s. E équation (a) fournil la valeur de ^ qu’on
KXEIK ic:i:6 U \^AL^SK.
substitue (iaiis l’expression de ils^ et il vient
ou eiu’oi'(*
rf.v=: — ^^'sin^Ci.«-/9,
■* = — cos -i- 0 = ^ 1’ «/ ,
Ainsi la causlique est rectifiable , et l’arc compté à partir (lu point lumineux est égal à la somme des deux rayons incident et ré-flèchi (ex. dernier étant, limité au point où il touche la caustique).
La longueur de la demi-caustique PhR est égale a\i ■ doiihlc de sa corde PR.
Si 1 ’on prolonge /«T d’une quantité mP' égale .à mP, on aura arc P«T = TP'i par conséquent, le lieu des points P' est une développante de la eaustique. J/équation de ce lieu s’obtient en projetant le contour polygonal PO/h P' sur PP', qui est parallèle à Om. Soient PP'=R, P'PA=0; on trouve R = 2 è (i + cos©).
Ainsi , la développante de la caustique est une nouvelle épicjcloïdc engendrée par un cercle de rayon b (c’est-àdire triple de celui du cercle généraU'ur de la caustique) roulant sur un cercle de meme rayon, (jui n’est autre que 'le cercle réflecteur Les deux épicyeloides sont tournées en sens inverse.
( .es derniers résultats pouvaient èti t; obtenus .«ans calcul , en remarquant «|uc le point P' a])partient vi.siblement à un cercle égal au cercle réllceteur, dont le centre o' est sur le prolongement de o/n, et dont l’arc ///P' égale l’are /n P. ( iqnséquemnuînt , si I <in faisait roul(!r le cercle o' sur le cercle o, à j)artir du point de contact P, ce dernier point . emporté avec le cercle mobile, dé/’iirait la développanle dout il s’agit.
IIEtXIÈMK PARTIE.
Dans le cas général où le point lumineux P est placé d’une manière quelconque dans le plan du cercle réflecteur, le lieu des points P', tels que mP' = mP, estuneépte^c/o<</(; rallongée ou raccourcie , selon que le point lumineux est intérieur ou extérieur au cercle.
La seconde épicycloïde remplirait évidemment le rôle d’une caustique relative à un cercle réflecteur concentrique au premier, et d’un rayon triple. Or, cette épicycloïde a pour développée; la première épicycloïde, c’esl-.à-dire la caustique proposée. On ce tclut de là que la caustique proposée a elle-même pour néweloppée une troisième épicycloïde ou caustique relative à un cercle réflecteur concentrique au premier J et d’un rayon trois fois J ^ petit.
KXERTTCES d’aNAI.YSK.
