EXERCICES SCR LE CALCUL DES VARIATIONS

C Déterminer, parmi toutes les lignes d’une longueur donnée et terminées à deux points Jixes (A , B), celle pour laquelle la somme des produits le chaque élément ds par le carré de sa distance à la droite AB est un maximum. Cette somme représente, en Mécanique, le moment d'inertie d’uL ligne matérielle supposée homogène.

(Ce problème a été proposé au concours d’agrégation de 1848 par M. Sturm , qui a fourni sur ce sujet plusieurs indications utiles à l’auteur.)

Prenons la. droite AB pour axe des x [fig- 20), et le point A pour origine-, l’intégrale qu’il faut rendre maximum est ^ ^1 ^ désignant la distance AB; et

si a/désignc la longueur donnée de la courbe, on doit avoir

D’après la règle d'Euler pour les maxima relatifs, on posera

iî( y ’ -f- -H a) lis = o.

Nous allons d’abord démontrer que la courbe est plane.

Comme les limites sont Gxes , on‘ peut ne pas attribuer de variations à l’une des coordonnées; nous choisirons x pour la symétrie. En effectuant, d’après cette convention, ■les différentiations indiquées par le signe ô dans l’équation

üKUXlkME PARTIE.

ii4

précédeiUt:, puis égalant séparément à zéro les eocfficients do dj" et dz , on obtient les deux équations