Z ds — ^/. ( y ’ - 4 " -h ^ ) T

' ' ds

Si l’on multiplie la prcmièi'e par z , la seeonde par y, et cpi’on retranebe les produits, on a une dilTérentielle exaete dont l'intégrale est

, . I dr dz\

au point A , z cl y sont nulles; d'ailleurs les cosinus ^

restent finis : donc la constante c = o. Par suite, comme le facteur + (qui se réduit à a au point A)

n’est pas nul pour tous les points de la courbe, il faut que l’autre facteur soit nul.

On a donc z dy — ydz= o ,

d’où s = ^y,

équation d’un plan conduit suivant l’axe AR, et dans lequel est située la courbe.

Prenons ce plan pour celui des jçy. Afin de déterminer plus simplement la forme de la courbe, il convient de reprendre le calcul en partant de l’équation

S. [a — J^)ds = o,

dans laquelle on pourra ne pas faire varier l’ordonnée y. On obtient ainsi, sans difficulté, l’intégrale première

ds

c étant une constante arbitraire.

Digitize:: cy Couple

KXERCICKS 1) ANALYSE.

On peut toujours faire en sorte que ~ soit positif au

point A, en y plaçant l’origine des arcs. Cela posé, l’équation (i) montre que les constantes c eta sont de même signe , et, de plus, que c est <^a , puisqu'elle donne, au point A,

c = a • HemaiTjuons, en outre, que ^ ne peut deve-

nir négatif en aucun point de la courbe, car il faudrait, pour cela, que qui est une fonction finie et continue

de X, passât par zéro; d’où résulterait c = o: ce qui est impossible. Ainsi, l’arc et l’abscisse varient constamment dans le même sens de A en B.

Il y a un point C (yi'g'. 21) dont l’ordonnée est maximum,

pour lequel i. L’ordonnée de ce point est t/a — c,

quantité réelle d’après ce qui a été dit ci-dessus, et pour

toute valeur dej^> \ja — c, ^ serait >■ i, ou ~ imaginaire. On voit ici pourquoi nous sommes partis de l’équation I â (a — f/s = O, et non pas de celle-ci :

d ds = o, qui diffère de la précédente par le

signe de l’indéterminée a. En elTet, cette seconde forme, tout aussi admissible que l’autre à priori , nous eût conduit à l’ordonnée maximum y — \jc — a, et comme c<C.o, cette ordonnée eût été imaginaire.

La propriété de maximum dont jouit la courbe Am B apprend que cette courbe doit être concave vers l’axe des x dans tout son cours; car si elle était convexe dans le voisinage de A, par exemple {J/g- 22), comme elle doit aboutir en B, elle devrait présenter quelque part un point d’inllexionE; or, en repliant l’arc rentrant EmF autour de la

TlKliXlKME PARTIE.

t;onU: El;’ pour le meltre en saillie Em'E, on agrandirait visiblement les distances des divers éléments de rare a l’axe AB, sans changer leurs longueurs; et, par suite, l’intégrale J serait plus grande pour la courbe Am'B

que pour AmB, ce qui est absurde. La concavité de la courbe vers l’axe étant établie, il en résulte que — va en

croissant avec donc est positif, et, par suite, en

dlfférentlant l’équation (i), on voit que la constante n est positive.

On tire de l’équation (i) .

± c dy

I „ ; dx = . ' ~ •

Cette valeur de dx est adectéc du double signe it ; mais le signe -h seul doit être pris à partir de l’origine A jusqu’en C, puisque, dans cet intervalle, y crôît avec x; et, de C eji B, on doit prendre le signe — ; ainsi, pour des

valeurs de — égales et de signes contraires , on a des vadx •

leurs égales de y : on en conclut que la courbe est symétrique par rapport à la perpendiculaire à l’axe des x menée

par le point C, pour lequel -^ = o. Soit AB = 2 l’abscisse AD du point le plus haut sera égale à /j , et l’on aura

dy

première équation de condition entre les constantes a et c. Puis, comme la longueur de l’arc AC doit être égale à l, on

F.XEnCICES D ANALYSE.

aura, entre les mêmes constantes, l’équation

(« — ,r-) dy

mais ces quadratures ne sont pas exécutables.

Si la longueur donnée l différait peu de en sorte que la courbe AC B dût s’écarter peu de la corde AB , on pourrait négliger sous le radical, et l’expression de dx deviendrait intégrable. Ne considérons que la moitié AC de la courbe, ce qui est permis, vu la symétrie; et, pour l’bomogénéité, remplaçons a par a} et c par ma*, m est <C| i. Nous aurons

am.dr

dx = ,

<Vni\

c’est l’équation d’une sinusoïde.

Pour x=bj l'ordonnée doit atteindre son maximum; d’où l’on conclut

b ^7 n ma 7.

, , aVl — m- 2 b J i — I

L ordonnée correspondante est — =

• 2 mn

par suite, l’écjuation de la courbe prend la forme

2 b J i — m- . -rx

r — sin — J- •.

mn 2 0

où il ne restera plus que la constant(; m a déterminer, par la condition cjue la longueur du demi-arc AC soit égale à /. La valeur de m dépendra d’uim fonction elliptique.

Bien ,que nous n’ayons considéré que le signe -4- du radical , dans l’intégration précédente, l’équation ci-dessus

Il8 DElXIt-ME PARTI!-:.

n’en représente pas moins toute la courbe, puisque la va-

leur de ^ qu’on en tire, change de signe quand ,r atteint

et dépasse /->, et reprend àex — b à x=’xb, les mêmes valeurs absolues que de a: = o à x= b.

L’équation ( 2 ) se présentera de nouveau dans un problème de mécanique , que nous traiterons dans la troisième partie de Oet ouvrage (livre premier, chapitre IV).

2. Étant donnés deux plans parallèles, et un point A dans l’un d’eux, on propose de mener de ce point à l’autre plan, une ligne de longueur donnée, telle que l’aire de la surface cylindrique ayant celte ligne pour directrice , et pour génératrices des perpendiculaires terminées aux deux plans , soit maximum ou minimum (fig. 23).

Soit MAN le plan qui renferme le point donné A -, prenons l’autre plan pour celui des xj , et pour axe des z la perpendiculaire abaissée du point A ; soit Ao = /< ; les coordonnées du point indéterminé 15, où la ligne cherchée doit rencontrer le plan des xy. Puisque la hauteur h de la surface cylindrique est constante, l’aire de la portion

\jdx''-\-dy*. Cette intégrah; doit être maximum ou minimum, en même temps

à une constante l.

f.a règle des maxima relatifs fournit l’équation

i {fis -t- <* \/ ù'x’ -H fiy') = o ; r|i la développanl , on Uouve les iiois é(|uatioiis dillércn-

F.XERCICES I) ANALYSE.

li«'lles

dr. \

■ sjdx^+lp j “

dy \

\Jdx^ -y dy ■ j

tjui se réduisent, comme ou sait, à deux distinctes. D ail-

leurs , en multipliant la première par la deuxième par ^5 la troisième par —» et ajoutant les produits, on

trouve une identité.

L’intégration donne / dx

dx

<•" \>dx--ydr^

ir/.v

dr

dx^ -(- dy ’ da~ ^ ’

C, C', C" sont trois constantes arbitraires, entre lesquelles il existe une relation que fournit la condition

dx\’ du

hm

mais il est inutile de la chercher.

Quant à l’équation aux limites, les termes relatifs a la limite fixe A disparaissent, et ceux relatifs à la limite li se partagent dans les deux équations suivantes ;

/dx tlx \ — n

\jdx'>-ydy'‘)

où .r et ) doivent être remplacées par les coordonnées ,

ItKI XIEME FARTIE.

J a (lu point B. Mais, comme les premiers membres de ces équations sont constants pour tous les points de la ligne cherchée, en vertu des équations (i), les constantes C et C' sont nulles; par suite, les deux premières équations (i) sc réduisent à

On y satisfait d’abord en posant

rf.r fi y

— = O et -f-

ce qui indiquerait , pour la ligne cherchée , la direction de l’axe oz-, l’aire de la surface cylindrique correspondante serait nulle.

Cette solution peut être admise comme uti minimum dont la surface cylindrique s’approche! indéGniment , à mesure que le point B se rapproche de l’origine o , et que la ligne AmB tend à prendre une direction perpendiculaire aux deux plans.

On satisfait encore aux équations (2) en posant

( 3 ) '^dx^ -1- ’ -1- ads = O.

Or on a

^ dx‘‘ dy'‘ = ^ ds‘‘ — dz‘ ;

011 en conclut

dz — i \/ I — a‘‘ . ds.

Ce résultat s’accorde avec la troisième des écjuatious (t) qui est une conséquence des équations (2). L’intégration donne

En convenant de compter l’arc s , à partir du plan des xy , on déterminera la constante a par la condition que , pour

Di^ - xt by Googli

EXERCICES D’A^AI,XSE.

Z = fl, on ait s — l, d’où Vi — = y . On a onün

Ainsi, l’analyse ne fournil rclalion entre l'arc,

compté à partir de l’un des plans , et l’ordonnée perpendiculaire à ce plan; l’ordonnée croit proportionnellement à l’arc : la ligne chercliée est donc une hélice. Quant à lasurface cylindrique sur laquelle cette hélice est située, et dont l’aire est un maximum, elle est indéterminée de forme et déposition; seulement, l’arc on B, qui lui sertde base, sera assujetti à une condition de longueur. En elïet , désignons par 'j l’ârc Bn dont la dillérenticlle est \J dx^ dy'^-, l’équation (3) dans laquelle on remplacera n par sa valeur, donne

ds ,

d’où

cl si l’on fait s = l , on en lire arc B no = — h'. Tous

les cylindres qui auront pour base une courbe de celte longueur, quelle que soit d’ailleurs sa forme, auront une aire équivalente à l’aire maximum.

héciproquement , quand on aura fait choix d’une courbe onB dont la longueur soit \/l* — A*, la ligure de la ligne A m B sera déterminée parla condition qu’elle soit un arc d’hélice tracé sur la surface cylindrique AonB.

En effet , soit Z l’ordonnée ntn correspondant à un arc Bn = a, on auraz = k g, k étant un coelïicient constant dont la valeur s’obtiendra en faisant à la fois ’

z=zli, G— — Id, d’où X =

et , par suite ,

r fj.

sfr — A’

lUÏ IlEUXIÈME PARTIE.

Oa eu conclut la dill’éreutiellc de l'arc s ou Bm :

f/.t = \/rf a’ + f/î ’ =r

d’où

et pour Z — h, s = l , ce tjui devait ùtre.‘

Solution synthétique du même problème. — On peut obtenir sans calculs tous les résultats auxquels nous venons de parvenir.

Supposons que la surl’ace cylindriquequi jouit de la propriété du maximum ait été développée sur un plan; le dc^ veloppement sera un rectangle AoQM, dont la. base oQ aura même longueur que l’arc on B, et puisque la hauteur A O est une constante donnée h , cette base devra être maximum, en même temps que la ligne menée ilu point A au point Q (transformée de la ligne AmB), aura une longueur donnée /; il faut donc que cetlc Iranformée soit une ligne droite, et, par suite, la ligne AniB dans l’espace sera un arc d’hélice. De plus , on aura oQ = <jl~ • — !d. Telle est donc aussi la longueur de l’arc on B , base de la surfacecylindrique, etc.

Remarque. — Si le point B, au lieu d’être seulement assujetti à être situé dans le plan des X)', avait été donné par la question, ainsi que A, en sorte que la ligne cherchée dût aboutir à deux points fixes. des deux plans , la synthèse précédente subsisterait sans niodilication , et la ligne qui , menée dupoint A au point B, engendrerait uneaire cylindrique maximum, serait toujours un arc d’hélice. Mais, indépendamment du maximum, il existe alors une aire cylindrique /nmù/tMw , différente de zéro. Enelfel, la surface cylindrique dont l’alrc est minimum, doit avoir pour base, sur le plan des , la ligne la plus courte que l’on puisse tracer

LXERCICES d'analyse. I a3

du poiiil O au point B. Donc , celte base sera la ligne droite oB, et, par conséquent, la surface cylindrique sera le plan

AaBC.

Quant à la directrice qui va de à B , sa figure est indéterminée ; elle doit seulement satisfaire à la condition que sa longueur soit égale à /. Le problème ne sera possible

qu'autant que l’on aura »

11 ^tà remarquer qu’ici la surface cylindrique à aire minimum est déterminée, et la ligne AmB reste arbitraire, tandis que pour la surface cylindrique à aire maximum, c'était le contraire qui avait lieu.

Le calcul des variations, appliqué au cas qui nous occupe, où la limite B est supposée fixe, ne rend pas un compte exact des faits que la synthèse a mis en évidence d’une manière si simple ;

• L’équation aux limites est alors identique et ne fournit plus aucun renseignement sur les constantes (i et C' qui entrent dans les deux premières équations (i). En les divisant l’une par l’autre , on trouve

de C '

d’où

La pro jection de la ligne A ni B sur le plan des xy est donc la ligne droite oB, cl, par suite, la surface cylindrique se réduit au plan AoBC. Comme les coordonnées Xq, Jo du

point B doivent vérifier l’équation précédente, on a — = — ;

Ce rapport est ainsi complètement déterminé, indépendamment de la constante a et de la longuenr donnée /; mai*

réi|ualion ^ ~ ne peut Icnirlieu des deux équations (i) ;

UEi xii:me i’autie.

il y

t'I si l’on remplace dans Tune d'elles^- par sa valeur, et (ly^ par vV/.ï* — dz*, on en lire

dz

dx

=z const.

La projection sur le plan des zx serait doue aussi une ligne droite, et, par suite, la ligne AwB dans l’espace serait droite , ce qui est en conlradiclion avec les résultats obtenus plus haut.

La règle d’Euler, pour les maxima relatifs, parait donc ici en défaut. Cette anomalie tiendrait-elle à ce lue le point B étant donné do position , la projection de la ligne cherchée sur le plan des xy est par cela même déterminée, SI7//S que la longueur l de la ligne y entre pour rien; en sorte que celle-ci reste entièrement arbitraire? L’intégrale -

\idx'-\-dy* étant alors un minimum absolu, la re-

cherche de la surface cylindrique , dont l’aire est minimum , ne serait pas, à proprement parler, une question de mini- "niurn relatif.

3. On suppose que la différentielle d'une Jonction '1’ des ■variables x,y, z soit exprimée par

(i) d1 = y.dx -\-ydy+Zdz,

X, y, Z étant des fonctions connues de x, y, z, et l'on propose de déterminer, entre toutes les courbes terminées a deux points donnés, celle pour laquelle l’intégrale

J f 'Lds est un minimum [ds est l’élément ditlérenliel de

l’arc de la courbe cherchée, ct.Xo , x, désignent les abscisses ffs deux points donnés)-, on doit avoir «

0 ( T ds ) = O ,

KXKKf.tCKS n AXALYSK.

l*it)

J I^T + -^o f/)’ 4- ^ 3 fiz\ -)- f/.f ( X lî .r -f- Y 5) 7. Sz) j = o.

Intégrant par parties les termes où les caractéristiques â, d sont superposées , et remarquant que la partie hors du signe J qui provient de cette intégration est identiquement nulle à cause des limites fixes, on trouve les trois équations

ds

'Il

ds

Yds=o,

d.T — — 'Lds = o;

rtï

deux d’entre elles comportent la troisième, en vertu de la relation (i). Ces équations sont précisément celles qui déterminent la figure d’équilibre d'un fil flexible et inextensible attaché aux deux points donnés , et dont chaque point est soumis à l’action d’une force ayant pour composantes rapportées à l’unité de longueur, X, Y, Z; la fonction (T) représente la tension en ce point.

Cette remarque nous dispense d’insister sur l’intégration de ce système d’équations.

Si la courbe cherchée avait été assujettie à avoir entre les deux points extrêmes une longueur donnée /, on aurait posé, conformément à la règle des maxima relatifs,

J (' • ^(T -t- «) ds = o,

a étant une constante indéterminée; et il est clair qu’on serait parvenu à trois équations qui n’aiu-aient diflëré des précédentes, qu’en ce que T aurait été changé en T -I- a.

I DKI XIÈME PAIITIE.

Cl's équations appartiendraient encore à la ligure d’équilibre d’un fil llexible placé dans les mêmes conditions que ei-dessus, et ayant de plus la longueur donnée /.

Ainsi l’analyse nous conduit à cette propriété remarquée par Euler, que si Xf/j: -f- W/ -h- est une différentielle exacte r/T d’une fonction des trois variables y, z, la courbe formée par le fil en équilibre sous l’action des forces (X, Y, Z), sera , entre toutes les courbes de même longueur passant par les deux mêmes points , celle pour laquelle l’in-

Tr/s prise entre ces points est un minimum. •

Ce théorème s’étend, sans difficulté, au cas où la courbe est assujettie à être située sur une surface.

Déterminer une courbe plane, <T une longueur donnée, et terminée à deux points fixes, telle que l'ordonnée de chacun de ses points, perpendiculaire à un axe donné, soit proportionnelle à une ceitaine puissance de l'ordonnée correspondante à la même abscisse, d’une deuxième courbe, dont l’aire rapportée au meme axe et aux deux limites fixes soit un maximum.

Soient (xo , y^o) » (■^n.Yt) les coordonnées des deux points limites A et B [fig- 24); y, V deux ordonnées corre.spondaiites mP, m'P des deux courbes; on a par bypothèst!

Y = ir-,

k et n étant des quantités constantes données, et la condition du maximum s’exprime par

0 ( ky' dx a ^ dx^ -f- dy ) = o.

On trouve sans difficulté

. dx

ky'y U — V,

ds

EXKUCICKS I) ANAl.YSK.

c étaiil une conslanle arbitraire; d’où

Pour « = 2 , celle équation est celle de la courbe nommée élastique.

Pour ii — \ et c = O, cette équation représente une cycloïde dont le cercle générateur a pour diamètre L’hypothèse c = o répond au cas où les deux points extrêmes A et 13, au lieu d’être fixes, sont assujettis «à rester sur des parallèles à l’axe ox.

Pour n = i , et en général pour toute valeur de n de la forme i on trouvera une courbe algébrique.

1^8 DKI XrkMK P^ItTIK.