CHAPITRE VIII

EXEnCICES SER l.ES MAXIMA ET MIÎilMA.

Déterminer le volume maximum intercepté dans un hémisphère donné par un parallélipipède rectangle dont la base oPQR (tig. a5) a l'un de ses sommets o au centre de la sphère, tandis que le sommet opposé Q est situé sur la périphérie .

Soient R le rayon de la sphère, oP = «, oR = |3; V le volume oPQRSZT ; on a

V — Ç dx Ç dy \Ik ^ — — y’, a’+p’=R'.

Jo Jo

En efFectuant l’intégration relative à y, il vient,

(i) y~ I — P’ — x’-f-KR’ — x’) arc

Jo L v'R’—

On pourrait achever l’intégration; mais cela n’est pas nécessaire pour la détermination des dimensions du parallélipipède maximum. L’expression précédente de V peut s’écrire

V=J* /(x,p)rfx.

Or la condition du maximum fournit l’équation

dV dV dx d^ da ’

ji est liée à a par la relation

rfS a

a’ -f 8’ = R’, d’où l’on tire — ,

nxi;nr.ic.Es d aaai.yse.

»;t, par suite

Comme ne dülère évidemment de 4 ^ nue par le chanrf P a a ‘ '

gement de a en |S, èt réciproquement, on aperçoit qu’on aura une solution de l’équation (2) en posant a = jS = ^ R v/2 ; mais on ne voit pas que cette solution soit la seule. Calculons les deux dérivées de la fonction V,

4^ = /( a 3 ) = !■ ( R’ — a’ ) arc sin

a CÉ '

(Ce dernier calcul n’était pas nécessaire, vu la symétrie déjà remarquée.) Substituant dans l’équation (2), il vient

S» — «■’ = O , d’où P = a.

La valeur correspondante de la différentielle seconde de la fonction V, ou

ÎZ

rf’V rf 8 d'-\ 2 ^ --- -f

d oL d^ doi 7/ P

est négative et égale à — t:. >

Ainsi , le parallélipipède qui intercepte le volume maximum, a pour base un carré; son côté est moitié du côté du carré inscrit dans le grand cercle de la sphère.

Au reste, la valeur du volume V peut être calculée par la géométrie ordinaire, en remarquant que ce volume est la différence entre le quart de l’hémisphère et la somme de deux calottes APQT, BQR.S ; on trouve ainsi , sans supposer

DlilXlKMi: PAIITIK.

fl uuui a — P —

son rapport au liuitième tle la splière est (| — i).

Si l’on n’avait pas suppost; que le sommet Q de la bast; aboutît à la péiij)hérie, le calcul de V n’aurait plus été praticable par la géométrie ordinaire; il aurait fiillu achever l’intégration indiquée dans la formule (i).

On trouve d’abord

tlx V R’ — P’ — a:’ (/u;

= y a 3 V'R^ — a’ — P' H- j P ( R’ — p’) arc sin

ba seconde partie

î arc !

est moins simple; l’intégration par parties la fera dépendre de l’intégrale

R’ — -2- j ■v‘ tir

( RI v'R’ — P’ — X’

Au lieu de la réduire aux fi-aclions rationnelles, il vaut mieux remarquer que

rf.arcsin - - . = -^:r=rr=r.-

Ajoutons cette diüérentielle , multipliée par un (acteur indéterminé ni , à celle qu’il s’agit d'intégrer; il \iendra

tJo

tic = A + w . a H' si 11 —

KXF.IICICHS n’ANALVSE. I I

Or on peut disposer de m de manière que le numérateur du premier membre

— ™ Rî .r- -h m R jî

soit divisible par R* — x®; en cfl’et, le reste de la division est nul pour in — et le quotient est ^ •

-U’après cela , il vient

^Jo 7r’-J

; rfx — A