TT T
fj’ — x-
Le calcul de A est ainsi ramené à celui de l’intégrale * 2 R’ — j-
=. c/.r, qui s’obtient aisément.
Toute substitution faite, on trouve
V=-^aSv’R’ — — P’ + c?( 3R’ — SAarcsin -
-l-^*(3R’ — g^larcsiii , ^ ■ — .^R’arrsin .
On pourra discuter cette expression , dans riiypotbè,se où la base du parallélipipède est un carré n’aboutissant pas à la périphérie, c’est-à-dire où a = /3; chercher la condi-' tion pour que le volume s’exprime algébriquement sans arc sinus, etc.
2. Déterminer les dimensions d'un cylindre droit inscrit dans une sphère donnée, telles que la surface ou le • volume soit maximum. (Annales de Gergonne. )
En faisant varier la demi-hauteur x depuis zéro jusqu’au rayon R, on reconnaît, à priori , que la surface latérale ex le volume sont susceptibles de maximum. Mais rien n’indique qu’il V ait un maximum pour la surface totale.
DKiMKME PAirm:.
i:iv.
f,e ralfui doiint' ;
Surface latérale. . . .
Surface totale
Volume
V= 27 tj(R’ — jt').
1 /équation
fis ,
— = O aonne
djc
fix^
se réduit à
J.,f cylindre dont la surface latérale est maximum, a donc pour hauteur le côté du carré inscrit, et pour rayon de? base la moitié de cette hauteur : sa surface est double de celle d’un grand cercle. >
I, équation — = o flonne
d'où l’on ne tire que des valeurs imaginaires pourx : il n'y a, pour la surface totale, ni maxituum ni ininiinum.
Enfin , l'équation — o donne
se réduit à
Va
En conséquence, le cylindre dont le volume est maximum a pour hauteur les deux tiers du triangle équilatéral inscrit, et le volume est triple de celui d’une sphère dont cette hauteur serait le diamètre.
d. Parmi tous les arcs <hf cercle d’une longueur donnée et de. rayons différents , déterminer celui auquel cnrrcsl>ondun segment maximum. (Annales de Gergonnc, t. XV . ) Soient Z la longueur del’arc ACB (/ig. 26), .rie rayon OA , J Faire du segment ACHTj on a
aire ACRI = secteur OACB — triangle OAK,
ou
EXERCICES I) ANALYSE
- Ar x’ sin
Celle formule convient au cas où le segment excéderait le demi-cercle , en ayant egard au signe du sinus.
F.n égalant à zéro 4 ^, il vient dx
— I l cos 7.x sin — 1 •
On satisfait à cette équation de deux manières, en posant
/ Il
cos — =o, ou lana — = — .
La première .solution
cos -
o donne x =
n étant un nombre positif quelconque. La valeiu- corespon-
dante de est — 2 (2 n -f- 1) tt.
Donc il y a maximum. On trouve ainsi une infinité de segments maxima, dont les aires sont données par la formule '
2 ( 2 « -H I ) JT ' ■
Le segment maximum maximorum correspond à « = o , d’où
C’est un demi -cercle. Chacun des autres segments maxima se compose d’un certain nombre de cercles entiers superposés , plus un demi-cercle.
Le résultat obtenu pour le segment maximum maxinionmt pouvait être prévu, en remarquant que si l’on juxtapo-
l34 IlELXlfc.ME EARTIE.
üail au segment maximum uii second segment égal, de manière qu’ils fussent de côtés dillérents de la corde commune, on aurait un contour fermé, de longueur 2 /, qui devrait embrasser une aire maximum, propriété qui n’appartient qu’au cercle.
