a seconde solution

/ / lang — = — - ' 2 X 2 X

fournit aussi uneintiuité de valeurs réelles pour x, que l’on pourra construire par l’intersection des deux lieux géométriques

y — Z, J = laiig Z , Z désignant le rapport -

A ces valeurs de x répondent des mininia pour la l'onc-

tPy . l

tion y: car elles réduisent à -l cos* —

rfx’ 2X^ 2.r

On a aussi, pour ces valeurs de.f,

Pour X =■ yz , on a y = o ; l’arc se réduit à une ligue droite.

l.es maxixna et minima doivent se succéder alternative-

ment. Eiieliét, lesvaleurs de —> qui répondent aux maxima, .sont

X 3 r 5 JT 7 TT

et si l’on représente par la suite o, «, (3, y, d,. . . les valeurs du même rapport qui répondent aux minima, on a

3x ..Sx f. 2

lu

EXERCICES X) ANALYSE

Ou peut se proposer une question de maximum semblable à celle que nous venons de résoudre, pour les volumes des segments sphériques ayant une surface donnée, et appartenant à des sphères de rayons variables.

i. Étant donnés deux arcs de grands cercles d’une sphère , perpendiculaires entre eux, et deux points A et b sur l’un, d’eux, un propose de déterminer sur V autre arc un point , tel que l'angle AC, 15 du triangle sphérique qui a ces trois points pour sommets , soit maximum ou minimum (fig. ay).

Soient ÜA = «, l)I{ = è, DC .r.

l,e rayon de la sphère étant pris pour unité, ou a

, , , sinfè — aisinx

( 1 ) taiig ACB=:tang OCB — DCA)= . ^ , - •

^ sin asm 6 -f-cosa cos PSin'x

Posons

sin a siiiè A , cos a cos 6 = 15 .

Comme sin (/^ — a) est un facteur constant et positif, il s’agit de déterminer Ic’s valeurs de x, propres à rendre maximum ou minimum l’expression

smx 4- B sin’. r

On égale ~ à zéro, et l’on a

tl.v

cos X (A — B sin’ x) = o ,

é([uation .à laquelle on satisfait de deux manières.

i”. Soit ços.r = O ; comme x est compris entre o et r, on

aura .r = -i et pour cette valeur de .r, ou trouvera

fi ’ r (A — B )

OEliXlKME P\UTIE.

Cette valeur de - 7 =^ sera ué£;ative, si l’on a A — H o,

fLr

ou bien

îr ' 3n-

COS (« -H i) <1 O , c’esl-à-dire - « -)- i

Dans ce cas, tang ACB, et, par suite, l'angle ACB luimême sera maximum.

Au contraire, la valeur de sera positive, si l’on a

el il y aura minimum, d^r

dx‘‘

, 3tt ou (7 -H e ^ — >

Enfin se réduit à aéro, si l’on a

TT 3r

à =: -■) ou a + 0 =

On peut alors recourir aux dérivées d’ordre supérieur, et l’on s’assure ainsi que s’annule, et que-y-^ prend une valeur négative ; mais il est plus simple de remarquer que l’expression de qui se réduit, dans le cas qui nous occupe, à

COS^ JC ^ >

— ^ passe évidemment du positil’ au négatif, lors-

que X atteint et dépasse y 11 y a donc maximum.

TT

La formule ( i ) donne , pour x = ~,

tang ACB = tang (ê — a), ou ACB = ê — a.

L’arc — a) ou la base AB liu triangle qui jouit de la propriété du maximuni ou minimum, mesure donc l’angle ACB. Efl'ectivement , si l’on prend l’arc DC' égal à un quadrant, le point C' sera le pôle de l’arc de grand cercle DAB; les côtés AC', BC' seront aussi égaux au quadrant.

nous ne

^ t EXERCiCKS Ü ANALYSE.

ü". Soit A — B sin’ x = o , d’où sin x — y/ g ;

prenons que le signe + du radrcal, attendu que l’are x est comprisenire o et tt. Pour que cette valeurde sin x soit réelle

et plus petite que i , on doit avoir o ^ > c’est-à-dire

cosrtcosà>o et cos[a b)'^ o , d’où l’on conclut que les deux arcs a et b devront être tous

deux plus petits, ou bien tous deux plus grands que et, déplus, leur somme sera, dansle premier cas, plus petiteque

3ir

dans le second cas, plus grande que — La valeurde

est

^ elle est négative;

pour sinx = \/ -

V 2 Av' AB

par conséquent il y a maximum. La formule (i) donne pour^

sinx =y/g,

tang ACB =

^th — a)

\/ sin 2 a sin 2 ê ^

ou, plus simplement,

sinfà — a)

sin ACB = — L ■

sm (6 H- a)

Comme à un même sinus répondent deux arcs Supplémentaires, X aura deux valeurs, telles que DC" et bc'" = r — DC"(ytg. 28). Au milieu de l’arc C"C'" se trouve le pomt C’ pour lequel l’angle AC'B est minimum, comme on l’a vu dans la première partie do cette discussion.

En rt-sumé , le problème comporte au plus trois solutions, savoir; deux maxima séparés par un minimum, et nu moins une solution qui est alors un maximum. Pour qu’il y ait trois solutions, il faut et il sulfit que la somme

DF,l:X»:.MF. PARTIE.

u-\-,b sôil plus petite que ^ ou plus grande que

alors.

si Ton conçoit que le sommet Cdu triangle cherché, d’abord situé en D, s'élève sur l’arc de grand cercle dans le sens DCE, l’angle ACH, d’abord nul, ira Cu croissant et atteindra un premier maximum AC" 11, puis üu minimum \C' B à go" de distance des extrémités D et ïi de l’arc , puis un second maximum AC"' B, C'" étant aussi distant de K (pie C" l’est de D^ euliu il redeviendra nul au point E.

Lorsque la somme a b est égale <à A ou à les deux

points C", C"' se confondent avec C'; il n’y a plusqu’ime solution , et l’angle AC' B est alors maximum.

Enfin, quand la somme n -î- i est plus grande 4*"'’ ~ t-‘* Stt . ,

plus petite que — -i il n’y a (pi'une solution; l’angle AC'B est maximum. ‘

\ous n'avons pas égalé ^ à l’inlini-, on recounait aist--

uient (juc cette nouvelle équation ne fournirait ni maximum ni minimum. En elfet , la valeur de.. l’ cpii satisferait à l’équation

A -4- R sin’x = O

rendrait ta ug yV CB itilinie, ou l’angle ACB droit; et lorstjuc .r, croissant à partir de o, atteindrait et dépasserait. cette valeur, le dénominateur de tang y\CB, d’abord positif, deviendrait négatif, tandis que le numérateur conserverait le signe-)-; l’angle ACB, d’abord aigu, deviendrait obtus: il continuerait donc à croilre.

Si l’angle des deux arcs de grands cercles DAE,^DCE, n’était pas supposé droit, on serait conduit à chercher le maximum d’une exprc’ssion de la forme

siii j:

A R sm .r -t- (ism .c <a)s.''

•- KXKIICICES u'analvse. 1 39

Ku égalant ^ à o, et prenant pour inconnue cot Jf =

on obtiendra une équation du troisième degré en 2, privée deseeond terme. Dans le cas où cette équation aura scs trois racines réelles, on pourra ramener sa résolution à l’équation connue de la trisection de l’angle. Ces racines répondront à deux maxima séparés par un minimum. Nous ne développerons pas ces calculs.

O. Ces mêmes choses étant posées que dans le problème précédent, h rcxceplion de l’angle des deux grands cercles, que nous supposerons quelconque, on propose de déterminer le point par la condition que l’aire du triangle sphérique .\CB soit maximum (fig. 29).

Soient 1 )A = «, DB = ù, DC = Xj angleAD(i=a; S l’aire du triangle ABC rapportée au carré construit .sur le rayon pris pour unité; 0 et cp les angles du triangle Di\C , dont les .sommets sont A etC; « et les angles du triangle DBC.dont les soinmçts sont B et (].

On a S — iL 4- •:

tang - S = taug -

+ 0) , d'uù

tang

Or les analogies de Neper donnent .r — h

CÜS ■

: COt

rj.

: COt - ■