I..’ équation (i) fait voir que l’arc — est riiypotéiiase

d'un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont

— - — et (u — x) ; si donc on prend le milieu I de l’arc Ail,

cl que l’on construise sur le côté Al un triangle rectangle en A, dont l’hypoténuse IG égale DI, le côté AG sera égal à 7T — X. On portera cet arc en EC à partir du point E , et AGB sera le triangle demandé,

Si n + ô = TT , on a cos a: = o et x' = ^ ; les deux points

A cl B sont alors équidistants des extrémités D et E; le triangle devient isocèle, et son somm'et est au milieu de l’arc ED. .

Nous avons négligé la valeur de x qu’on tirerait de l'équation 00 , parce que cette valeur réduisant à zéro

le dénominateur de lang-j-S, on verrait, comme dans le problème précédent, qu’elle ne fournit pas tin maximum pour l’aire du triangle considéré.

6. Parmi tous les quadrilatères ayant trois côtés donnés, dont deux opposés sont égaux , déterminer celui dont Faire est un maximum. (Annales de Gergonne, tome XX.)

Cette question a trait au problème de statique dans lequel on demande quelle doit être la disposition des pieds de l’homme debout , pour que les chances de rupture de l'équilibre soient diminuées le plus possible. On suppose un écartement donné BG = b des talons , et les deux pieds d’égale longueur, AB = DC=« faisant va-

rier les grandeurs des deux angles B et C que les axes des pieds font avec la droite qui joint les talons, l’aire S' du quadrilatèn' ABCD variera, et la question consistera à dé-

l4a DKI'XIK.MR l'AllTlK.

UM-miner les valeurs de ees angles pour ijue l’aire soit niaximuni.

On trouve succcssivenienl

~ [s\n B r sinC) — sin (B 4- C) ;

en écalant à zéro les dérivées partielles — 4^? on a les

, f/ls «C

deux équations propres à déterminer B et C. On en tire B = C arc cos ^

h — Sa'

Le quadrilatère sera doue un trapèze isocèle, ou, pour revenir au problème d éqtiilibre, l’homme devra diriger ses pieds également en dehors. Si l’on suppose u = i, on aura B = i 2 o“, et si i — o, on aura B = i35"; le trapèze se réduit alors à un triangle rectangle. Si h croît à partir de zéro, l’angle E formé par les axes des pieds décroît à partir de po degrés, et s’approche indélîniment de zéro, .sans jamais atteindre cette limite.

7. « points , A’, .'V',. . . étant donnés sur un plan, déterminer un point ni , tel ipic la somme des distances , (m A 4- m \' 4- m Si' . .*. ) soit un minimum.

Sî l’on rapporte tous ces points à deux axes rectangulaires tracés à volonté dans le plan , et qu’on égale à zéro les deux dérivées partielles de la somme proposée, par rapport aux coordonnées du point cherché, on reconnait que la somme des cosinus des angles formés par les droites niA , tuA', m A" ... . • avec un meme a.xe (juelconçue, doit être nulle,

■ Cette proposition fournira autant d’équations qu’il y a d’angles autour du point cherché, en prenant successivement pour ax(! chacune des droites niA , niA', niA",. . . . L’angle que form(> chaque droite avec elle-même étant zéro.

KXFUCICKS n’\K4I.YSK. I 43

il faudra que la somme des cosinus des anfj;les que les autres Ibrmcnt avec elle soit égale à — i.

Dans le cas de trois points A , A', A", on trouve ainsi que les trois angles Am A', \/nA'\ A'riiA" sont égaux-, et, par suite, leur valeur commune est de 120”, ce qui conduit.à* la construction connue.

Dans le cas de quatre points A,A', A", A'", on trouve que les angles opposés au sommet sont égaux-, ce qui conduit au point d’intersection des diagonales du quadrilatère A A' A" A'", etc.

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