A sin 9 , A étant une constante arbitraire
C’est l’équation d'un cercle dont le rayon est - > et le centre sur la normale A y-
Il a sudi d’écfire cpie l'angle d'une tangente quelconque
r.XElîCICES O AiVAl.YSE.
avec la conle issue d’iui point fixe A , était égal à l’angle que la tangente fixe A'I’ lait avec cette même corde ; et puisque la courbe obtenue est un cercle, on voit, à posteriori, que la même égalité d’angles aura lieu pour toute corde non issue de l’origine A.
2 °. Soient ABC,/nl}(^ [fiS‘ plans tangents de
la surface cbercliée, A m la corde de contact. Suivant cette corde, conduisons un plan quelconque A /«D; il déternfincra, dans la surface, une sectioti dont les tangentes en A et m seront les traces AD, «/!) du plan sécant sur les deux plans tangents; et, puisque le plan passant par le milieu 1 delà corde Km et par la droite BC, doit être perpendicu- ' laire sur Am, la droite DI , comprise dans ce plan, sera perpendiculaire sur cette même corde. La condition de la première partie de l’énoncé est donc remplie par la section AmD; conséquemment, cette section sera un cercle.
La surface cherchée étant coupée suivant un cercle par tout plan passant par le point A , n’est autre qu’une sphère dont le centre est sur la normale A s et le rayon arbitraire.
Soient Am = r, mAD = ô, et supposons que le plan sécant passe par la normale As ; on aura (i”)
/• = Asin6, or /■= y sinO=-;
et, conséquemment ,
sera l’équation de la surface en coordonnées rectangulaires.
2. Déterminer une courbe plane telle , fjue le rayon vecteur issu ri’ un point fixe soit proportionnel au cube delà perpendicuiaire. abaissée, de ce point sur la tangente à V extrémité rlu rayon vecteur.
En désignant parc le rayon vecteur, par 6 l’angle qu’il
fait avec nu axe fixe, par - le ia]»|>ort constant, on a
lO
l’équation
nF.IXIICMK CARTIK.
qu’on intègre l'acileracnt en posant r * ~ z.
L’intégrale est
\ c ! cos J 0
Cette courbe est telle , cptc Van^/e 0 formé par le rayon vecteur çm {lig. 33) ai’cc l'axe polaire, est triple de l’angle formé par la perpendiculaire oV avec le même axe, propriété qui aurait pu servir à sa définition.
Enell’etjsoit moV—mO\ on aura oP=::/’eosw0 et
oP = c’ r, d’où
cos' m 0
Or l'intégrale donne
\c I cos’ f 0 ’
m=j, et, par suite, Pox = jO.
Une autre propriété de la même courbe , c’est qu’e//e est l'enveloppe des positions que prend, la perpendiculaire au rayon 'vecteur issu du centre d’une hyperbole équilatère dont le demi-axe est égal à c, lorsque ce rayon décrit l’hyperbole.
En elïet, soit mQ { fig. 34) la perpendiculaire au rayon om-, désignons om par/;, l’angle mQx par a; par r et 0 les coordonnées d’un point quelconque de la perpendiculaire ;mQ‘, son équation est
D -ri i.y Googk
EXERCICES d’analyse. \ !\n
(*l le point m étant sur l’hyperbole, on a
cos 2 y.
éliminant p entre ces deux équations, il vient
cos 2 a sin’ ( 0 — a )
Pour avoir l’enveloppe, il faut égaler à zéro la dérivée lie cette équation relative à a , ce qui donne simplement
