TT

cos (3a — 0 ) = o , d’on a =r ^ H i

puis substituer cette valeur de a dans l’équation de la ligne mobile : on retrouve ainsi l’intégrale déjà obtenue.

3. Déterminer une courbe plane telle, que l’on ait, pour tout point ( X ,y) de cette courbe^ la relation

N désignant la longueur de la normale terminée à l’axe des x,S„ la sous-normale, p le rayon de courbure.

En remplaçant ces longueurs par leurs expressions analytiques , la condition de l’énoncé devient

Le signe -)- convient aux courbes convexes vers l’axe dcs.r , le signe — aux courbes concaves.

Le moyen le plus simple d’intégrer cette équation linéaire consiste à lui appliquer la méthode qui convient aux équations de la forme

fi"* Y ff"* ' Y

(n.r-t- b)" ' H- A{nx + b)”-‘ — — — - -h • . . by

UlillVllME PARUE.

l'rcnous tl'abord lo signe <'i posoiis> = .r*, k c(ani une indéterminée; le t’aeieur.r'', eoimnun à tous les tcrni<-s de l’équation (a), dis]>arnit, et il reste

/(’ — 3 A -f- 2 = O , d’où /i = i , A = 2.

L’intégrale ehercliée est donc

y ~ ax -f- bx '^ ,

a et h étant des constantes arbitraires.

Celte équation repr^ente des paraboles passant par r origine, et dont t axe principal est parallèle h l’axü (les Y ■

Pour que ces paraboles soient convexes vers l’axe des .r, il faut et ilsuHitquc la constante b reçoive des valeurs positives. Si on lui attribuait des .valeurs négatives, on aurait des paraboles concaves vers l’axe des x, qui satisferaient bien à l’équation ditlérenlielle ( 2) dans laquelle on prend le signe -f- , mais non pas à la condition de l’énoncé telle qu’elle a été posée dans l’équation (1). Ces paraboles répondraient à la condition

Si l’on prend le signe — dans ri'qualion (i),la meme traaisformation conduit à l’équation

A’ -4- A — 2 = 0, d’où A — I , h ~ — 2.

L’intégrale est

y = ax

Elle représente, pour des valeurs positives du paramètre b, des courbes concaves vers l’axe des x, et pour <les valeurs négatives de b, des courbes convexes qui ne satisferont pas à la condition (i), maisà la condition (i'). Ces courbes présentent une branche infinie qui a pour asymptotes l’axe des i et la droite | = n.r-.

KXhiu.ic,i„s n',\,\ vi.YSi;. i4,Q

l,V-(juiUioii (’i) aurait encore pu être intégrée à la maiiièriï des équations lioiuogcnes en posant y — c ; on !a ramènerai l ainsi à V {■quation d'Euler

du

Th

Lue intégrale particulière de cette équation est u — - ■>

et l’on en conclut l’intégrale générale en posant « = + 1 ;.

Knfin , on intégrerait encore l’équation ( 2 ) en posant ) = xs , ce qui la réduirait, dans le cas du signe -I- , à

— — = 0, (tou z—a.r + l> dx-

et , dans le cas du signe — , :'i

dx‘ X dx X'

-1. Uètenniner une courbe plane telle, que Von ail, entre les angles a. et (3 que forment le rayon vecteur orn (fig. 35 ) et la tangente /ttl’ avec une droite fixe oTj:, la relation

tang P = — cot 2 a, lang a = tang p ■+" tang’ p •

On en lire d'où Or,

On a floue à intégrer l’équation dillérentielle

tanga=-l, tttngP = g.

y <lx — X dy = it a: -f- f(r’ ,

dy

OU, en posanr ,

y — pjc.=: ± X V 1.-+- p‘

OKIXIKMK PAI'.TIF..

I^’intégi’iili’ est

y‘ -+- x‘ — a ex = O,

c élaui lino oonslanlo arbitraire. Ainsi la courbe cherchée est un cercle de rayon quelconque passant par le point O et ayant son centi'e sur l’axe ox. La géométrie rend aisément compte de cette propriété du cercle.

5. Si une courbe AB (fig. 36) est telle, quen menant d'un point quelconque m , une normale mS jusqu à la droite Ax, et du pied de cette normale une ordonnée Sp, on ait

Sp — S/w = const.,

les sous-normales successives PS, ST, TL , . . . , seront égales entre elles, et réciproquement .

Soient {x,y) , , les coordonnées des deux points

m, P, rapportées à deux axes rectangulaires dont l’un est la ligne Ax; on a , d’après l’énoiieé,

y' est une fonction de x' , déterminée par l’équation de la courbe , et , par conséquent , une fonction implicite de x : on aura donc, en dilîérentiant par rapport à x les deux équations précédentes ,

,dy' dx’ . dy r i dr\ ‘ 1

dx' i dy \‘ d‘‘ y

\ djc) ^ ,

Subslituani flans la première, à la place de

dx-’

sa v;i

aleui

EXEW.icF.s r>A>.u.vsr..

tiré»’ tle la (Iciixiènie, il vienl

Si l’on n’a pas

on (■onclul de eiïUc équation

d.T* ' dx

roi

e’esl-à-tliie PS =• ST, e. t . n.

Voyons iiiainlenanl ce que signifie l’équation

. , , dx' d I d) \

Son premier membre rejireseiite — — ou -7- I ) ’

HX flél* \ \%X *

on aurait dotic

dy