X -t- V -f- =r c, c étant une constante

" dx

011 ydy -t- (x — c) rfx = o ,

, et finalement y'+ {x — c)'=: P ;

équation d’un cercle dont le centre n’est autre que le point S de l’axe o.r, puisque c représente aussi la valeur constante dex'=oS. Bien que ce cercle remplisse la condition de l’énoncé, en ce sens que la dillércnce entre la normale niS et l’ordonnée (ou rayon) Sp est constamment nulle, cependant le théorème dont il s’agit ne lui est point applicable, puisque les sous-normales, à la suite de PS, sont toutes nulles. L’analyse précédente est d’ailleurs en défaut dans ce cas, puisque x' étant constante, l’on ne peut plus regarder y' comme fotiction implicite de x.

Rccipvoquement , si l'on suppose qu’à partir d’une ordonnée ni P, les sous-normales successives PS, ST,... soient

DEtXIEMK Ï'AKTIE.

égales eiiirt; files , on aura

r/jc'

tlx

el, multipliaiil de pari et d’autre par dx' = d -f- ji

(iy

> ' df r r/ I .r • " dx

■ dx I

, , dy

ydry-y—d.y -ji.

dx dx

Les deux membres sont des diHéreutielles exactes relatives à J.’; donc

y'- — y‘‘ + j' 4- coust. ,

OU S P rr: Sw + consl.

Il faut remar(|uer que ce théorème ne suppose pas que

la sous-normale y ^ nù partout une 'valeur constante.

' dx

Si l’on part d’un autre point que m, on aura une nouvelle série de sous-normales égales entre elles, mais qui pourront être différentes des premières.

Si l’on ajoutait cette condition nouvelle, que la sousnormale fût constante , ou

Y — P , on en conclurait r'‘ — 7. px -f- q.

La courbe Am B serait alors une parabole ayant pour axe la droite Ax. Dans ce cas, on aurait non-seulement

S/J — Sm =const., mais encore Sm — mP = const. ; et, de plus, les deux constantes seraient égales au carré de la sous-normale /^*, en soi'te que les carrés des ordonnées et des normides siiccessiues

j/jP , mS , Sp , pT , Tq,.. . ,

formeraient une progression arithmétique ayant pour raison le carré de ta sous-normale.

kXKKClCKS d’aX\L\SK.