CHAPITRE X

APPLICATION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES A LA DÉTERMINATION DE DIVERSES SURFACES SATISFAISANT A DES CONDITIONS DONNÉES.

1. Dcternuntit' la suijace telle, que si-, d*un j)oint ilonné O, ou mène une perpendiculaire oA sur un de ses /dans tangents , le rectangle construit sur cette perpendiculaire et sur la normale /«N terminée à un plan fixe xoj mené par le point donné, soit équivalent au carré de la distance om du point donné au point de contact ^üg. 3yj.

La condition du problème est

( I ) O A X "I N = om . ♦

Désignons par X,j, z les coordonnées du point de contact m, par p, q les dérivées partielles • ^ dx dy

± {z—px—q y ) m P

on a

oA ;

, cosP/hN

om — x’+f’ 4 -

En substituant ces valeurs dans l’équation (i)’, il vient ±z(!: — />x — 7J-) = x” 4-j' 4-z’;

comme le second membre est essentiellement positif, on devra prendre , dans le premier, le signe -|- ou le signe — , selon que les deux facteurs (z ctz — px — qy) seront de même signe ou de signes contraires; or le facteur (z — px — qy) représente l’ordonnée o B du point où le plan tangent rencontre Taxe des z. De là, deux cas à distinguer ;

i". Les points m et B étant d’un meme côté du plan fixe, on a l’équation z (z — px — qy) = x' -f- v • -f- z’,

UEl'XlKMt H\n l IF-.

I J 4 ou

xzp~>ryzii z= — {x'- y-).

(jCtle équalioij aux dilîcronces partielles du premier ordre, a pour intégrale

elle représente une surface symétrique par rapport au plan fixe, dont la propriété caractéristique est que, toute section plane passant par l’axe perpendiculaire à ce plan, est un cercle. Ce cercle a son ceutrc au point o , et son rayon est une fonction arbitraire de l’azimut.

On retrouve les mêmes résultats, sans calcul intégral, par le raisonnement suivant ;