I.a similitude des triangb^s o AB, wPi\ , donne

O A . Hi N = O li . /« P ;

par conséquent, la condition de rénoncé équivaut «à O B . //i P = OUI ,

on bien , si l’on mène la perpendiculaire ml sur oZ, on doit avoir

oB . ol = om .

Donc le triangle omB est rectangle en ni ; mais la droite m B, ([ui est à la fois dans le plan ZoP et dans le plan tangent, est tangente .à la section produite par le plan ZoP dans la surface cherebée ; donc cette section est un cercle de rayon orn. En désignant par R ce rayon et par 6 l’angle Pox, l’équation de la surface sera de la forme

2". Les points ni et B étant de côtés différents du plan fixe, on a l’équation z ( px -|- r/y — z) — (x* 2*),

ou

xz P +■ y 2 q — 3 2' -+- -h ,r% *

EXKIICICES O AîSAI.YSE.

dont l'intégrale est

elle représente une surface symétrique par rapport au plan fixe. Les rayons vecteurs d'une section plane passant par l’axe perpendiculaire à ce plan , sont proportionnels aux carrés de leurs projections sur un axe fixe quelconque tracé dans ce même plan.

Si l’on demandait que le rectangle (o A . n/JN) fût équivalent h un carié donné, on trouverait pour intégrale

s’it = X- y

Kn prenant pour

une fonction entière du premier

ou du deuxième degré, cette équation, qu’on discutera facilement, repésentera des surfaces du deuxième ordre.

Î2. Étant donnée l'équation d’une surface ,

on propose de déterminer l’équation d’une autre surface, rapftortée au même système de coordonnées rectangulaires, telle qu’un prisme droit dont les arêtes sont parallèles à l’axe des z , intercepte sur ces surfaces deux portions équivalentes. ' '

Soient e

dz — P dx -y qdy

l’équation dilférentielle de la première surface; dz = rdx -4-

l’équation dilférentielle de la seconde.

Les éléments des deux surfaces, projetés sur le rectangle dxdy, ont pour expression

dx dy \j i -y p‘ -y fp , dx dy \j \ r- -y s'^ . ,

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l’ar coiiséqiK'ut , les l'onclioiis inconnues r cl .v tlevronl satisfaire à la condition

a laquelle il faut joindre

dr ds dy dx

Ces deux équations détermineront, dans chaque easparliculier, les fonctions r et s, et , par suite, z en fonction de .r (U de y.

I Cas on la surjacc donnée est plane.

Soit s = rt + fux -i- wy récjnalion de ce plan; on aura P = m,f/ = n., et en posant m* -f- «* = a’, « désignera la tangente irigonométrique de rinclinaison du plan donné sur le plan des l’équation (i) deviendra

+ A- = a% (I ou r (- A O ,

dx d.c

et , en ayant égard à l’équation ( 2) ,

dr

dr

r — -t- V«’ — r-’ — = o, dx dy

é(|Uation aux dillérc-nces partielles, linéaire el’du premier oixlre, dont l’intégrale est

La fonction pétant arbitraire, on peut encore écrire celle intégrale sous la forme

sx — ry=z,f[r).

y joignant r” + s’ =«*, on a deux équations lijiles propres à déterminer r et s en fonction de x et j, après que l’on aura disposé de la fonctionarbitraire. Leproblème admet donc une infinité de solutions.

Conmu- cas particulier, soit çp (/■) = o; ot) lire des équa-

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KXKiu ir.ns 1)

lions pm'wlentcs

/ x<lx -\-yilr ^

consf .

C’est r équation d’un cône de résolution autour de Vaxe des Z , dont Varéte fait asec le plan des xy le môme angle que le plan donné. Si Ton remarque que chaque élément superliciel du cône se confond avec le plan tangent , lequel est partout également incliné sur le plan des on se rendra

compte aisément du résultat précédent.

Autre solution. Si l’on posé avec Euler • r — % cos w , i = a sin &> ,

l’équation (i) sera satisfaite identiquement, et la question sei-a ramenée à déterminer pour r.) une fonction de x et y, telle que l’on ait

COS 6 ) sin M

riy • tlx ’

ou «

. ri M rtbj

sm w (- COS 6) — - = O.

. rty dx