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(liatcm(;nt •

Z rrz a (xcosp -t- r siu P) -h const.,

êijuution d'un plan incline sur le plan des xj, de in même quantité que le plan donné. '

Soit 9(01) = O,

d’où jr sin M — ^cosw = o,

ou en tire sin w et cos o) que Ton substitue dans l’expression de s ; il vient

Z = a +.r’ -t- const.

('.'est le cône droit déjà trouvé.

3". Soit iji (t.)) = a sin M — àcosw,

d’où (a; — ajsinw- — [y — à)cosw = o,

et z=a[(x — o)cosM + (j — à) sin w] + const., ou enfin z = a ^ [x — a )’ -t- ( j — à )’ + const.

Cette équation représente encore un cône de révolution dont les arêtes font le mèma angle que dans le cas précédent, avec le plan des xj-, seulement l’axe est parallèle à l’axe des z, au lieu de coïncider avec lui.

Les différentes hypothèses que nous venons de faire sur la fonction (j) sont les seules qui puissent conduire à des ■ surfaces coniques (le plan étant compris parmi ces surfaces).

En efl'et, pui.squ’on a posé

rznacosw, .ç=asinM,

l’expression générale de z peut s’écrire sous la forme i zx rx -h sr -y a. f <f [ü>) êu -i- const.

Or l’tqualion aux différences partielles des surfaces coniques est

Ainsi, pour que l’équation précédente se réduise à cette

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KXKIU.ICKS I>'aK ALYSK. I rî^

l'orme, il l'ani <|ue /"'p ('->) (lt<> soit mille ou égale à

— (ar ^ « + 6 sin w ) ;

(i’où l’on conclut que rime des trois hypothèses suivantes doit avoir lieu ;

f.i = const. , ou ç((»)=o, ou ly (w) = U siu w — ècosw.

a". Cas 0(1 fa surface jlou née est. de révolution autour de l’axe des z. ^ ^

Prenons, comme i^xtun pie, le paraholoïde de révolution

On a /; = -,//=: —

Soit

a dz — rdx - 1 - sdy

l’équation dill'érentiille de la surface cherchée, on doit avoir

En dilfércntiant par rapport à ,r, et ayant égard à l*équa-

lion ( 2 ) , il vient .

dr j dr

dx dr

L’intégrale de cette équation aux ditl'érences partielles est

Quand on aura fait choix d'une fonction ç, on en tirera la valeur de la fonction r, et, par suite, on connaîtra mais le calcul est plus simple en introduisant, comme précédemment, uye fonction angulaire w.

Posons r = a: cos w -l- J' sin w , J = .rsin(.> — ycosw.

11 en résulte identiquement ;•* -i- s* = .r’ + y*; en sorte que la question est ramenéi; à déterminer pour w une fonc-

IÜ<» l)P,l\lÈ»fK PAIITIK.

lion telle que rrl.r -+- sdy, c'esl-à-ilire

(x cosw + y sinw) dx -J- (x sin w — y coSoj) dy

' soit une (liHéreiitielle exacte. En développant cette condition, on est conduit à une é([uation aux dillércnees partielles, qui s’intégre sans dillicullé. Cette intégrale est

2 XJ" COS W — (x’ — j-’) sin w =: o (w).

Elle fournira une infinité de valeurs de w.

L’équation des surfaces demandées sera de la forme

2 <73 = (.r’ — y’’) cos 6) -t- 2 x>' sin (.> — ( m ) </ w ,

où l’on remplacera o) par la valeur tirée de l’intégrale précédente. Si l’on suppose

w = const. = S,

• ou n’a point à recourir à l’équation intégrale; cai- la condition d’intégrabilité de rdx -j- sdy est alors remplie d’ellemème. 11 vient

2 az ~ (.r’ — j’ ) cos (î -H 2 XJ sin p.

QueHe que soit la constante (3, celte équation représente (\es parabploïdes hyperholiques. En particulier, si

on a

ou a

ftz = xy.

Cette dernière équation sc ramène à la précédente par une transformation de coordonnées

- I X = X cos 0 — Y sin 0 tt |

1 J = X sin 0 -y Y cos 0 ’ ^ 4 ) '

par conséquent, elles apparticmncnl à un même paraboloïde, dans lequel les deux paraboles principales ont même paramètre 2 «, tU leur axe principal dirigé suivant l’axe (les Z.

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