Él uni donnée la formule

U = ff<l^ <iy ^ ■ + P‘ + 7%

fini exprime r rare d’une surface (nielcotujue , on propose d’en déduire la formule

U = 2 JT y R (Is ,

(pii confient, nu cas où la surface est de révolution .

Soient oZ l'axe de révolution [fg. 38), AwH une section méridienne, R= oP la projection du rayon vecteur om sur le plan des xy., R sera aussi le rayon du parallèle qui passe par le point ni , et l’on aura

R = V^.r’ z = (ji(R), f/.v =y*r/R’ -f- ffc" = f/R V^i H-f' ( R),

J^ar suite, la formule donnée devient d’abord

u=//f/xrf>vi +

Remplaçons les coordonnées rectangulaires x, y par les coordonnées polairesR et 9 = Poy; on sait, parla théorie du changement des variables indépendantessouslesigne f y, (|ue l’élément dxdy devra être mnplacé par Rf/Rf/9, et l’on aura

U = /'/R ,/R v/ 1 + «'TRy- <hi.

l/inlégration relative à 6 s’e(léctue iinmédialerneni , et

DEUXIEME l’Ar.ïlE.

pour obtenir la surface entière, il faut intégrer depuis 0=oàô = 27Ï, ce qui donne

V — 7. TtJ^ R. dR. ^ I + (R j’ = 2 7 r y Rr/.v- C’est le résultat qu’il s’agissait d’obtenir.