Étant donnée la formule

y = ff{^-z')dxdy,

qui exprime le volume d’un solide cylindrique compris entre le plan des ocy et une surface quelconque , on propose d’en déduire la formule

V = 7r/RVz,

qui convient au cas où le volume est de révolution autour de l’axe des z.

En introduisant comme ci-dessus les coordonnées polaires R et 6 , la formule donnée prend la forme y = ff{z — z')RdRdt).

Z et z' sont les deux ordonnées mP, m'P qui répondent à une même valeur du rayon R, et comme elles sont indépendantes de l’azimut 6 , on peut intégrer immédiatement par rapport à celte variable 5 il vient, eu égard aux limites 0 = 0 , 0 = 271,

(A) V = 2,r/('2— z'jRrfR.

Cette expression de V, bien que réduite à une intégrale simple , diffère cependant de la formule

(B) \ = r:fR}dz.

Cette différence tient à ce qu’elles répondent à deux modes distincts de décomposition d’un même volume en éléments infiniment petits. Tandis que la formule (B) suppose le volume décomposé en tranches cylindriques par des plans perpendiculaires à l’axe de révolution, il est aisé de s’assurer que la formule (A) suppose le même volume dé-

EXEIICICES l) analyse.

composé t;ii amicaux cyliiuli iqucs , parallèles à Taxe. En cllét, deux cylindres ayatil pour axe os, pour bases les cercles de rayon R , H , et même hauteur [z — z') ,

comprendront entre eux une portion infiniment petite du volume, dont la mesure sera 2 tt (s — z') RrfR (en négligeant les infiniment petits du second ordre).

La formule (A) peut se ramener à (R) par le procédé de l’intégration par parties, qui a précisément pour effet de changer le mode de décomposition d’une intégrale en remplaçant une somme d’éléments par une somme équivalente; il vient , en elï’ei ,

V z= 2 ir / ( z — a') K d K = TT R’ ( î — s' ) — ir R= rfr -H TT / R’ rfj' .

Les intégrales doivent être prises depuis la limite K = o pour laquelle on a s = oB , s' = o A , jusqu’à la limite R = IH , qui répond au point où l’ordonnée s est tangente à la méridienne A niB, et alors la différence (s — z') se réduit à zéro. Donc le terme 7 : R* (s — z') s’évanouit aux deux limites, et si l’on pose, pour abréger (oA =«, oB = j3, KH = y ) , l’intégrale y’R'Jz, qui se rapporte à la partie du volume située au-dessus du parallèle IH , devra être prise entre les limites /3 et y , tandis que l’autre qui correspond à la partie du volume situé au-dessous de ce parallèle, devra être prise de z' = <x à z’ = y. L’équation précédente se réduira donc à

7t I'r^ d-J J et

RV/z'-f-

Enfin les deux dernières intégrales peuvent être réunies

en une seule

et l’on a définitivement

R'dz.

DEfXIKMK PAnTIE.

IJ. Calcul (le diverses intégrales définies.

\ . On propose d' intégrer 1'e.r pression

J P “ cos 1 9 (n- 2 x cos 4- 2 x'cos 2 Ô -f- 2 ,r’ cos 3 6 -t-...) t> \/ 2 ( cos 6 — cos a )

dans laquelle x est uiu^ conslante <' i, et la série convergente que renferme le munérateur est prolongée à riiilîni.

Pour sominci' celte série, on transforme les cosinus en exponetitiellcs imaginaires à l’aide de la formule

2 COS iif) z= -4- e ■ " * V'’-

puis on ajoute les sommes des deux progressions géométriques résullanlcs; il vient