LU

0 et t étant connus en fonction dex , le problème de calcul jntegral est résolu^ car on aura , sans iioiivellc ifitégi'utioii ^ y en fonction de x a l’aide de l’équation (3) , dans laquelle t. et tangg seront remplacées par leurs valrmrs tirées des intégrales (4) et (5),

DKUXIliME VAaXlE.

Les i'ormulcs ( 5 ) et (6) tlcvieimcnt illusoires dans le cas particulier où n = i , c’est-à-dire où c = « -h !>■ L’expression de th se réduit alors à

et son intégrale n’esi plus algébrique ; elle prend la forme et, par suite , l’équation (6) sera remplacée par la suivante,

(6 bis)

lay , , ■ , I b\ a — à f / xY

Si l’on regarde J' et .r comme les coordonnées rectangulaires d'un point, on pourra s’exercer à construire les courbes représentées par les équations (6) et [ 6 bà). En transportant l’origine sur l’axe des y négatives à une dis-

h {na b) . , . . , ,

tance — é, on fera évanouir le lcrinc constant du

second membre, et si l’on pose en outrt:

il)

h [a — h) l'xy-*-' a n (' w -I- I ) \ b J

on aura r — n -j- i> -,

de sorte qu’après avoir construit les courbes (paraboliques ou hyperboliques) représentées par les équations (7), on u’aura plus qu’à faire la somme algébrique de leurs ordonnées correspondantes à la même valeur de x.

On construira de même l’éf[uation (6 bis) à l’aide d’une parabole ordinaire et d’une logarilbinique.

11. Ètntit ilonnèe une sérieront les termes sont fonctions (le X , si on les niiilfii>/ie ftar dx , et /fti'on intègre, il nrrh'c, dans certains cas, (/ne l’on sait déterminer, sons

EXERCICES 1) AîiM.YSE.

forme jinic, une Jonction égale à la somme de ces intégrales; et, fuir suite, en diÿérentiant celte Jonction, on connaitra la somme de la série proposée.

Appliquons ccttc niélliodc à la sommation de la série

tant; — f — -lani'— -H — : taiu; 1- . . . 4-

— tang

Le rapport d’un terme au préeédeut, • -t tend,

latig •

pour des valeurs croissantes de n, sers la limite -j; par eonsétjui nt , cette sé-rie est convergente pour toute vali;iiide.r (à l’exception de celles cpii rendraient l une des tangentes infinies, et qui sont comprises dans la formule X — 2 "“* . 7t).

Multipliant par dx et intégrant, il vient, en désignant pary la somme inconnue de la série ,

. cos - 4 -

— 4 - c cos — 4-

cos - cos — cos — 2 54 2 ^

Or, on trouve aisément

, , XXX sin X

( I ) cos - cos — CüS — ... ri:

Il suflit, pour cela, de mulllplu*r les éfpinlions suivanles membre à membre,

sm X 2 siii - cos — .

sin — = 2 sm — cos •- . 2 2 * 2 -