CHAPITRE IV

St a I.A FiauHE rERMANEKTE QfE PEUT PaENDllK EN SYSTÈME VAKIABLE DE POINTS MATÉRIELS, ANIMÉ d’dn MOUVEMENT DE ROTATION.

1. Un fil flexible, homogène , non jiesnnt et de longueur invariable , est animé d’un mouvement de rotation autour de la droite qui joint ses extrémités fixes. Ce fd peut-il prendre une figure permanente , et quelle sera cette figure? (Question proposée par M. Sturm , au concours d’agrégation de i8/ja. )

Pour que le fil puisse prendre une figure pcrmaiiciile, il faut que le mouvement de rotation soit uniforme. En effet, supposons que le fil tourne en conservant constamment sa figure; on ne changera rien à son mouvement en supposant qu’il devienne rigide, puisque les forces eflédives prises en sens contraires, qui , d’après le principe de d’Alembert, se font actuellement équilibre sur le fil flexible, se feront encore équilibre après sa solidification ; mais alors ce fil sera dans les mêmes conditions qu’un corps solide tournant autour ffun axe fixe, sans être sollicite par aucune force, et l’on sait qu’alors la vitesse angulaire de l olalioii est constante.

.Supposons donc qu’un fil Am B {fig. 5o) tourne avec une vitesse constante autour de l’axe AB; prenons cette droite pour axe des ,r et le point A poui' origine. f,a force effective , rapportée à l'unité de longueur du fil , qui sollicitii chaque élément ds , peut en général se décomposer en deux,

l’une tangeniielle, ds (qui est nulle ici, puisi{ue la vi-

tesse \ ne varie pas avec t ); l’autre centripète , — ils, qui

2o 8 TKÜlSlisME I‘AKT1E.

esl diligée suivant le rayon rdu cercle décrit par le point ni. En désignant par o) la vitesse angulaire de rotation, on a V = /’ci), cl c = fj la valeur de la force centripète est donc rw’ r/s , et ses composantes parallèles aux axes des ar , j, z sont O, — — w’ Z.

Or, le fil doit être eu équilibre sous l’action de semblables forces prises en sens contraires; on aura donc les équations

ds

dz

'‘■'^ds

' Z ds — O.

De ces équations, on conclut d’abord que /a courbe- est plane :

En effet, si l’on multiplie la seconde équation par z et la troisième par y, et qu’on retranclie membre <à membre, il vient

ds ds

équation qui équivaut à

, „ [ d y dz \

dont l’intégrale est

dz \

Mais la constante c est nulle ; car. au point A , on a j = o ,

df dz

^ 1 — ne peuvent prendre que des

5 = 0, et les cosinus

valeurs finies, ainsi que la tension T. Ces valeurs devant vérifier l’équation précédente, on en tire c=o, et, par suite , on a pour tout point de la courbe ,

z dy — y dz

o, «Il

EXERCICES DE MÉCANIQUE. log

d'où

Z — nijr -f- n ,

équation d’uu plan parallèle à l’axe des x. Ce plan , devant renfermer les points A et B, passera par l’axe lui-même, d’où M = o; quant à la constante m, elle doit rester indéterminée, puisque le fil peut être placé dans un azimut quelconque.

Prenons pour plan de la courbe le plan xKy ., nous n’aurons plus à traiter que les deux équations

dx

d . T -|- u’ r rfi == O .

ds

La première s’intégre immédiatement, et donne

en désignant par .j c w* la constante arbitraire.

cest une quantité positive, car la tension T est positive,

et l'on peut toujours faire que ^ soit positif au point A,

en y plaçant l’origine des arcs. Substituant cette expression de T dans la seconde équation, il vient

dy

-f- -f- irds “ O.

dx

Cette équation déterminera la Cgure d’équilibre du fil.

11 est à remarquer que le facteur w a disparu ; d’ailleurs , la valeur de la constante c ne dépend que des limites et de la longueur du fil , mais nullement de co; donc la forme de la courbe ne dépend pas de la vitesse angulaire. Ce résultat , en apparence paradoxal , s’explique en observant que , d’après l’équation (i), si le mouvement s’accélère, la ten-

aïo thoisiéme partie.

sion du (H en eliaque point .tugnirnle proportionncllcnient

au carré de la vitesse angulaire.

,ly

Pour intégrer l’équalion précédente, on pose — p ,

d’où <h

— ^ I + /P , et il vient

cp dp

ou en tire l’intégrale première

o.y liy = O ;

c i p‘‘ ~ a — yr‘‘, ou ( a a étant une constante arbitraire.

. djc

Comme on a au point A, a on voit que

la constante a est de même signe que c, c’est-à-dire positive-, et de plus, qu’elle est plus grande que c.

dx

-J- ne peut devenir négatif en aucun point de la courbe ;

dx

car le changement de signe de s’il avait lieu, exigerait que cette fonction flnie et continue de x passât par zéro, d’où l’on conclurait que la constante c est nulle : ce (jui est inadmissible. Ainsi , l’arc croit constamment avec l’abscisse depuis A jusqu’à B. '

Oe l’équation précédente on tire

c dy

cette expression n’est pas intégrable, en général 5 mais 011 peut reconnaître d’après elle certains caractères 'de la courbe, y ne saurait dépasser 'Ja — c, quantité réelle d’après ce qui a été dit plus haut; quand l’ordonnée atteint

cette valeur maximum, on a ^ = o, et, par conséquent, la tangente est parallèle à l’axe AB.

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■EXEIIGIC.es 1>E MÉCANlyUE.

A partir de l’origine A , jusqu’au point C pour lequel y — — c, on devra prendre le signe ■+■ dans le second

nieinbre de l’équation (2), puisque croît avec x; au delà de ce point, j commence à décroître, on prendra le si-

gne — ; et l’on voit qu’à des valeurs de ~ égales et de

signes contraires, répondent des valeurs égales de : la courbe est donc symétrique par rapport à la perpendiculaire à l’axe de révolution menée par le point le plus haut.

L’équation (2) coïncide avec celle qui résout le problème d’analyse traité dans la seconde paitie de cet ouvrage ( chapitre VJl^ § >)• Le lecteur y trouvera les équations de condition qui existent entre les constantes a et c, ainsi que la discussion du cas où la longueur donnée (2/) du fil diffère peu de la distance (ai) des points extrêmes A et B. La figure d’équilibre se confond alors sensiblement avec une sinusoïde.

Mais il faut remarquer qu’outre la courbe ACB, qui satisfait au problème d’analyse dont nous parlons, il existe une infinité d'autres figures d’ équilibre également possibles. En effet, la figure ACB suppose que le fil soit situé tout entier d’un même coté de l’axe AB. Or, si l’on conçoit qu’avant de lui imprimer son mouvement do rotation on l’ait partagé par moitiés , telles que ACO , OC'B [fig- 5 1) placées de part et d’autre de l’axe-, puis, qu’on l’ait mis en mouvement en fixant d’abord son point milieu O, il est visible que ce point , abandonné à lui-même , demeurera immobile en vertu des tractions parfaitement égales et contraires qu’il éprouvera de la part des portions égales et symétriques qu’il sépare, et le fil se mouvra avec la figure permanente ACOC' B. Cette figure présente deux points C, C' où l’ordonnée (abstraction faite du signe) alicinl la valeur maximum a — 05 mais les constanles a cl c ne seront plus

ai 2

les mêmes que dans le premier cas, où il a’existait qu'une ordonnée maximum. En effet , en conservant les notations ih ^ il pour désigner la distance AB et la longueur du fll,

nous avons AP = ^ ^rc AC = ^ -, les équations ( 3 ) et ( 4 )

du problème d’analyse déjà cité seront donc remplacées par les suivantes :

On conçoit de même que le fil pourrait être partagé en trois, en quatre, en n parties égales situées alternativement de part et d’autre de l’axe {fig- 5 1 ) .

L’équation de la sinusoïde obtenue par approximation dans le cas où la figure du fil s’écarte peu de la droite AB , rend bien eompte de ces diverses solutions. En effet , on a trouvé (page iiy)

où les constantes a et c ont été remplacées , pour l’homogénéité, par a* et ma'.

Pour déterminer a et w, on a les conditions que la courbe passe au point B , et que l’arc AB ait une longueur donnée : les coordonnées du point B étant y = o , x= ih, on aura d’abord

ib \ji

ma

n désignant un nombre entier quelconque ; et, par suite,

1 b J i — . nn

y == — sin — -J X .

mn TT 2 P

EXERCICES DE MÉCAMQUE. 2l3

En iloiinant successivementà n les valeurs i , 2 , 3 , 4> • ■ • ^ cotte équation représentera une infinité de sinusoïdes qui •seront les difl’érentes figures d’équilibre dont nous avons reconnu la possibilité.

2. JJnvase à deux branches verticales AB , CD ( fig. 52), réunies par un tube horizontal , et symétriquement disposées parrapport à un axe vertical oz , contient du mercure dans ses deux branches. On suppose quel’ on imprime à ce vase un mouvement uniforme de rotation autour de oz. La colonne mercurielle se divise et laisse un vide efgh dans la branche horizontale qui n’est plus qu’en partie remplie, tandis que le liquide s’ élève dans les deux branches verticales .

On propose de déterminer la figure permanente du liquide et les dimensions de l’espace vide.

D’après le principe de d’Alembert, il doit y avoir équilibre , eu égard aux liaisons du système , entre les forces appliquées à tous les points de la masse liquide en mouvement et \c& forces effectives prises en sens contraire.

Si l’oii désigne par X , Y , Z , les composantes de la forc-e, rapportée à l’unité de masse (la pesanteur), qui agit au point dont les coordonnées sont x,y , z, par p la pression en ce point, par p la densité du liquide, parX', Y', TJ les composantes de la force accélératrice qui produirait sur chaque point libre le mouvement qu’il a réellement; on a, d’après les principes de l’hydrostatique ,

dx

■ly

Or, on suppose que le liquide tourne en conservant une figure pc'rmancnte; la pression/) est donc indépendante du

TnOISIEME EAMIE

temps, el n’est fonction que des coordonnées J , z. Par suite, on déduit des trois équations précédentes,

= P [(X — X') rfx -t- ( Y — Y') rfj + ( Z — Z') rizj ,

équation propre à déterminer la pression.

Il en résulte que la figure permanente ne sera possible" qu’autant que l’expression

p[(X-X')^ + (Y-Y')rfjV(Z-Z')rfz]

sera la différentielle totale d’une fonction de x, a. Cherchons la valeur de cette expression ;

La densité P est une constante donnée.

En prenant pour axe des z l’axe de révolution , on a

La force accélératrice effective se réduit à la force centripète ’ puisque la composante tangentielle

nulle dans un mouvement uniforme ; soient wla vitesse angulaire de rotation, rla distance du point (x,y,z) à l’axe oz, on a y=trw, p = r = ^ x’.-f-j'® : la force efl’ective a donc pour intensité rtd*, et comme elle est dirigée suivant le rayon /■, ses composantes sont

par suite ,

= P [ — g-rfz M- w’ ( x<ir -+- jrfy)].

Cette expression est bien une différentielle exacte, et en l’intégrant on a

(l) /^= —g’pz -1-^ (x>-|- /’)-+- c,

c étant une constante arbitraire, qu'on déterminera plus loin.

lit s surfaces supérieures nh, ni des deux colonnes liquide.^

EXERCICES DE mécanique.

sont lies surfaces de niveau, c’esl-à-dire que la pression est constante dans tous leurs points : ou a donc pour ees surfaces

dp = O, ou — » dz H t/(x’ -+-/’)= o ;

d’où l’on lire

A étant une nouvelle constante.

Aihsi les surfaces libres ah , cd sont des portions d’un même paraboloïde de révolution dont l’axe est celui de la rotation.

Les surfaces libres inférieures cj\ gh appartiennent aussi à un paraboloïde de révolution autour du même axe, dont l’équation ne différera de la précédente que par la constante, et sera

mais les constantes k et k' ne sont pas indépeudaiites entre elles. Si l’on exprime qu’à la première surface, la pression/» est égale à la pression atmosphérique t3 , et qu’à la seconde surface la pression est nulle, on aura, d’après l’équation («),

— + O = — g'pX' -t-c ,

d’où

gp

Pour que les deux paraboloïdcs qui limitent la colonne soient complètement déterminés, il ne reste plus qu’à calculer la valeur de k. A cet effet, on a la condition que le volume de cette colonne soit équivalent à la moitié du volume total qu’occupait le mercure, à l’origine du mouvement, avant que la masse ne fût divisée. Or, le volume rt/n;/ s’évalue par les règles ordinaires de la euhature des solides

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lcrmiriés par des surfaces de révolution. Comme on doit admettre qu’il reste toujours du mereure dans la branche horizontale CB, on pourra coneevoir deux sections normales p(j, rs ^ entre lesquelles sera comprise une partie du liquide regardée comme fixe et connue, et il ne restera qu’à évaluer les cylindres pqef, rsab , tronqués par les paraboloïdes définis par les équations (a) et (3) , où k' sera remplacé par k -h — • gp

La somme de ces deux volumes dépendra delà constante A, et en l’égalant à la moitié du volume total du mercure diminuée de la partie connue p(/rSy on aura une équation propre à déterminer k.

Cela fait, on calculera sans difficulté le volume de la partie vide ej'gh.

Enfin, comme on a c = u -P- gpk, l’équation (i) devient

— gpz + ^ + +

et fait counaitre la pression en un point quelconque de la masse liquide.

EXEÎICICES DE M ÉCAW E .