CHAPITRE IL
Sun l.E MOUVEMENT d’uN POINT ASSUJETTI A DÉCKIKE UNE
counnE Fixe : variétés nu pendule simple.
1 Un point matériel pesant est suspendu à un point fixe, par un fil fiexiblc, inextensible et sans niasse , qui se meut dans un plan vertical en s’enroulant sur une courbe fixe telle, que la tension du fil soit constante : cette courbe passe par le point de tension où elle a pour tangente la verticale. On donne la longueur du fil et la vitesse du pendule au point le plus bas : il s’agit de déterminer la loi du mouvement et la forme de la courbe fixe. (Concours d’agrégation de i845.)
Soient l la longueur o A du fil [fig . 64 ) , ^ la tension constante. Quand le pendule a la position quelconque omm\
la tension est égale à la somme de la force centrifuge et de la composante normale de la pesanteur
P / on
a donc
(<’ dr
5 désigne l’arc om de la courbe fixe; x et y sont les coordonnées du point m.
Le rayon de courbure p est égal à la partie rectiligne mm' du fil, attendu que la trajectoire Am' est une développante de la courbe fixe ; donc
Soit A la vitesse donnée du pendule au point le plus bas A,
inOISIEME PAIVTIE.
le principe îles forces vives donne pour l’expression du carré de la vitesse e au point né (aé, Ÿ ) ,
Substituant CCS valeurs dans l’équation (i), il vient
L’intégrale de cette équation , linéaire du premier ordre , est
/ ~ X * — 2 !tI
( 2 ) y = C(l-.fy
Telle est la relation générale qui existe entre l’ordonnée verticale ) et l’arc s île la courbe fixe compté à partir du point de suspension.
I.a constante X est connue d’après l’état du pendule au point le plus bas; car réc[uation (t) dorme pour ce point
si dans l’équation ( a) on fait^y = o , ,î = o, et qu’on remplace X par la valeur ci-dessus, on en tirera la valeur de la constante arbitraire r,
.Actuellement, on aura aisément e’ en lonçtion de ,v par la formule
EXERCICES l)F, MÉCANIQUE.
OU voit que la vitesse va coiitiiiuellement eu décroissant à mesure que l’arc augmente.
Le rnoweinent peut-il être oscillatoire? Il faudrait pour cela que o pût devenir nulle , ce qui ne saurait avoir lieu que pour une valeur de s égale à l : mais cela est inadmissible, puisqu’on a
riiypolhéso s = l duiiDcraît ^ — — **
Ainsi le mouvement du pendule ne sera pas oscillatoire. On reconnaît encore d'une autre manière que la vitesse ne saurait devenir nulle à aucune époque du mouvement ; en l’ffet, la vitesse devenant nulle, la tension du fil se réduirait à la composante normale de la pesanteur g éos 0 , 6 désignant l’angle de la partie rectiligne du fil avec la verticale ; mais cette tension serait visiblement moindre que celle qui
a lieu au point le plus bas et qui est égale à H — -j, et,
par suite , la condition du problème qui exige l’invariabilité de la tension ne serait plus remplie.
r.a valeur précédente de-;- peut s’écrire
Au point O, s = o, et l’on trouve — = i-, effectivement, eu
ce point la tangente est verticale. .< augmentant, -L diminue
^ rt.Ÿ
et devient nul quand on a
d’où l’on tire une valeur de s plus petite que /, et. par cou-
iSÛI
TROISIEME rAIlTlE.
séquciit , adinissiblo. Au point ^■om;spolldalll , la partit' libre du (il est horizontale, et la vitesse du mobile est égale à
s continuant à croître , ^ devient négatif et atteint son minimum ( — 1) pour
la vitesse correspondante est
c’est la plus petite valeur qu’elle puisse recevoir. Le pendule est alors vertical , le point matériel en haut. Au delà de cette position , il n’est plus possible de déterminer la courbe
propre à remplir les conditions de l’énoncé , puisque —
prendrait des valeurs absolues plus grandes que i .
Pour achever de déterminer la courbe fixe, il resterait à déduire de l’équation (2) l’équation finie de cette courbe en X et y. Mais il est préférable de clierclier la trajectoire Am', qui est une développante de la courbe fixe. On passe ensuite aisément , par voie de différentiation et d’élimination , de la développante à la développée. Suivons cette nouvelle marche.
La tangente au point m' étant perpendiculaire à la tangente en w , ou a
dj- dx'
Th ~ ~Ti7'
et l’équation (1) prend la forme
ds' P
EXEIICICES DE MÉCANIQUE.
JP
dr'
(Nous prenons le signe — au numérateur, parce que la
trajectoire c*st concave vers l’axe des ji qu'ainsi ^
est négatif.) L’équation précédente devient, eu y substituant ces valeui s ,
^•’+ ag [y'— /) dp
SP
les variables se séparent ;
dy' dp
X>|2g-(j' l) ^ {^+P^){SP — '>'^*-yp'‘)
Onvériüequela valeur de ^ qui satisfait à cette équation
est négative; en effet, 2 g [jr' — /) est une quantité
essentiellement positive, égale au carré do la vitesse et le
facteur gp — X ^/i -f- est au contraire négatif, puisque X, X*
dont la valeur est g' -t- y» surpasse g.
Pour intégrer, il convient de poser
P = tang «l’nù il vicni
dp
dy'
■dot et V 1 -1- />’ = ■
eos o>do>
vos M
— /) sin &> -t- À '
l’intégration donne
(^'sin<.> 4- X)’= 2 g (v' — /)!>
r claiil une conslanle arbitraire.
TEOISIÈME PARTIE.
Un tire de celle équation la valeur de g sin o), et, |»ar
suit*!, celle de ^ —
V^S'’ — g’=sin’f
Or P = donc
' dy
dx' :
OU, en ]K)sani y^A’ 4- o.g{ y' — l) =
{ cz — \ ) Z dz
rdx' =
yJg'—{cz — \Ÿ
Ainsi la détermination de la trajectoire est ramenée à une quadrature qu’on achèvera par la méthode des fractions rationnelles.
2. Déterminer le moimement d’un point matériel pesant , suspendu à un Jil flexible, inextensible et sans masse, dont l’autre extrémité est attachée à la fforge d’une poulie fixe : ce pendule est mis en mouvement dans le plan du cercle de gorge qu’on suppose vertical, et dont la circonférence est en partie embrassée par le Jil.
Le pendule étant enéquilibredans la position verticale DU (fig. 65), supposons qu'on l’en ait écarté en l’amenant dans la direction AB, et qu’on ait en même temps imprimé une vitesse A au point matériel ; soit Cw la position du pendule au bout du temps t. La trajectoire décrite par le point;» est connue, car c’est une développante du cercle oA; et l’arc H , compté à parlirdu poinlle plusbas H , s’exprime aisément en fonction de l’angle Col) que fait avec 1 horizon le rayon mobile aboutissant au point où le lil se sépare langentiellcment du cercle.
Soit = Cin—p, CoD — 0, oA — a, 1)11= A; lorsque l’aiT prend un accroisseineni infiniment pi'lit ds .
KXEnClCES DE MÉC.AM(JLE. a4~
raccioissemuiil correspondaul f/9 est égal à l’angle de eoiitingeiice de la trajectoire, relatif au point /n, puisque le i-ayoïi oC est constamment perpendiculaire au rayon de courbure Cm ; on a donc ■
Mais
P = DH -t- arc DC = h -y nO
donc
rf.v = [aB -y b) tlB ,
s~ — -y-bB
Si l’on prend pour axe des x l’horizontale oU.t. et pour axe des y la verticale oP diiigée dans le sens de la pesanteur, on tirera de l'équation précédente celle de la trajectoire rapportée à ces axes. Ce calcul a été fait (page^y); nous ne le rapporterons pas.
Cherchons à déterminer le lieu du point m sur sa trajectoire, au bout du temps t. Le principe des forces vives donne l’équation
J et h désignant les ordonnées des points ni et 1$.
Pour en déduire 9 en fonction de t, il faut y remplacer s ely en fonction de 9 ; nous avons déjà
f/.ï = [aO ■+■ b)flB.
En projetant les points C. et A sur la verticale oy, et désignant par X l’angle d’écart initial AoD, on trouve
- r = {fiB -h II ) ros 0 — n sin 0 ,
h = (rt ï H- />) cosa — n siti a;
et substituant ces valeurs dans l’cqualion (i), il vient
dt —
2g [« (0COS0 — a cosa + sina — sin0) + i (cosO — cos a)]
Cette expression n’est pas intégrable en général.
Considérons le cas où le pendule ne fait que de petites oscillations de part et d’autre de la verticale DH; l’angle « etla vitesse doivent être peu considérables ; onpeut même, sans diminuer la généralité des résultats , supposer h = o , en augmentant convenablement l’angle a.
Si l’on néglige les puissances de 6 et a supérieures à la seconde, l’équation ( 2 ) se réduit à
, /Z rfO aBdO
dt — — 1 / : ' ' =r •
V g \/a’— 0’ \/gb(oc^—B'‘)
Kn intégrant et observant que 0 = x quand t = o, il vient
, L’équation ( 1 ) donne d’ailleurs pour le carré delà vitesses
(4) c’ = gê (a’ — 0’).
On tirera de ces formules les mêmes conséquences que pour le pendule simple ordinaire. Le pendule atteindra la verticale avec une vitesse maximum x \fgb, au bout du temps
J TT ptiis il passera de l’autre cùlé, et sa vitesse ira en
décroissant jusqu’à zéro pour 0 = — a ; la valeur correspondante de.^ est ir y/ -, c’est-à-dire double de la durée de
la demi-oscillation descendante : alors le pendule redcscendi-a , cl il fera ainsi une série d’oscillations isoclirones et d’égale arnplilude. l.e iciups irime oscillnlioii entière est
n f*'*" ninplitU'Ic PSI 22 .
EXEIICICES DE MÉCANIQUE. 2z^()
Oii doit remarquer que si le rayon a de la poidie ii’a pas une valeur très-grande, le terme V* — 0" n’aura
qu'une inlluence très-faible et comme négligeable vis-à-vis du premier terme du second membre de l’équation (3). En le négligeant, on aurait la formule ordinaire des petites oscillations d’un pendule simple de longueur b.
Nous rapprocherons des questions qui viennent d’ètre résolues sur le pendule, un exercice bien simple, et dont l’application est fréquente dans cette théorie ; il s’agit de déterminer la longueur du pendule simple correspondant à un pendule composé donné.
3. Un pendule se compose d’une tige pesante AB (fig. 66), d’une épaisseur constante et très-petite, à l’extrémité de laquelle est suspendue une sphère homogène dont le point O est le centre. On propose de calculer la longueur l du pendule simple correspondant.
Soient M la masse totale du système , iVJK* son moment d’inertie par rapport à un axe parallèle à l’axe ^e suspension XY et passant par le centre de gravité G dû système, a la distance AG, r la distance d’un point quelconque de masse ni à l’axe; on a
. K’ M (a’ -(-K’) 2/nr’
lz= a -K = — i = ;
n Mfl Rln ’
or, 'Lmr^ peut se décomposer en deux parties : le moment d’inertie de la tige A 15 par rapport à l’axe de suspension , plus, le moment d’inertie de la sphère par rapport au même axe. Soient// lalongueur de la tige, Pson poids, p sa densité, i l’aire de la section droite; on aura pour le moment d’inertie de la tige,
UJO THÜISIKME PARTIE.
l^e moment de la sphère se ealcule d’abord pour uii axe parallèle à XY, passant par le centre o; on trouve ainsi 2 P' R’
^ désignant le poids de la sphère et R son rayon;
et si l’on y ajoute, conformément à la règle, M {/t-(-R)*, on aura, pour valeur complète du moment d’inertie de la
sphère par rapport à l’axe XY
Il reste à diviser la somme des moments calculés ci-dessus
par iMrt ou — > ce qui exige qu on déterminé la
distance a : soit I le milieu de AB ou le centre de gravité de la tige; le centre G est tel , qu’oii a la proportion
(--pr)p'
IG : lü:: P': P-i- P', d’oii ig = Y- '
et , par suite , n = Al-t-IG =
(P-f-2P')/i-t-2PR
donc en fit'
2 5PA'-l-3P'[2R»-t- 5(A -h R)’] i5 (P+ 2P')A-+- 2P'R
Si l’on désigne par L la longueur AO ou A -f- R , et qu’on suppose le poids de la sphère très-grand par rapport à ce-
lui de la tige, on pourra négliger le rapport — > et l’on aura sensiblement pour longueur du pendule simple
■4. Déterminer la courhe qu'un point matériel pesant^ animé d'une vitesse initiale donnée, doit suivre pour que sa distance au point de départ croisse proportionnelle^ ment nu temps.
■■ EXEIICICES IIK MÉCAiMQtE.
• Soit A !o point de départ {jîg- 67 ), An; = r.
On doit avoir
dr = cdt.
l^a constante c n’est antre (pic la vitesse initiale du mobile’, car on a
a» point A, dr^dsy a m'i — = — = c;
Nous désignerons eette vitesse initiale par \l"igh^ en sorte que la condilion de l’énoncé s'exprimera ainsi :
(1) dr r= ^9.g/i.dt.
Soit 0 l’angle du rayon A ni avec la verticale Ay; le principe des forces vives donne l’équation
(2) = 2g-(/; -(- rcosO);
éliminant dt entre les équations (i) et (?•),. il vient
d’où l’on tire, en remarquant que 9 décroil quand t. on r augmentent ,
dr
dO
V'cos 5
telle est l’équation dill'érenlielle de la trajectoire. Les variables y sont séparées; mais le second membre n’est pas inti'grable sous forme finie, et son intégrale dépendra des foniuions elliptiques.
A défaut d’une relation entre r cl 6, on pi'ut en obtenir une entre r et l’arc d’une courbe auxiliaire. Supposons construite la courbe représentée par l’équation
f h \ 2 cns 2 M, ,•
TROISltME PARTIE.
dans laquelle w désigne l’angle que le rayon vocleur p l'ail avec une droite fixe; et soit 7 l’are de cette courbe compté à partir d’un point tel qu’il décroisse quand o) augmente; nous aurons
, — A \fi.da
COS 2 m
par conséquent, si l’on pose 9 = 2W, il vient
d’où , en intégrant ,
Nous ne mettons pas de constante arbitraire dans cette intégrale, parce que nous plaçons l’origine de l’are a au point qui correspond à r — o, c’est-à-dire au point dont les
coordonnées sont = î, p — h\li cos a J > a désignant la
valeur initiale de l’angle 9 .
Ainsi le rayon vecteur de la trajectoire se construira par une troisième proportionnelle à la longueur constante 2 h et à l’arc ct de la courbe auxiliaire définie par l’équation (4). Cette courbe n’est autre que la lemniscate correspondante à une hyperbole équilatere dont le demi-axe transverse est égal à /t y/2 .
O. Un problème analogue à celui que nous venons de résoudre a été traité par Fuss [Mémoires de. Saint-Pétersbourg, 1824), et par M. Serret [Journal de Mathématiques pures et appliquées, tome IX) :
Déterminer la courbe qu'un point matériel pesant, parlant du repos, doit suwre pour que ses arcs, comptés à partir de l'origine, soient décrits dans le temps qu’un meme mobile emploierait h décrire les cordes de ces
DigiiiîÇ-j by GqogU
arcs.
EXERCICES DE MÉCANIQUE. 'a53
Kii coiiservaiil les mêmes nutations que dans le problème précédent , l’équation ( 2 ), où l’on fera h = o, fournira l’expression du temps employé à décrire l’arc Am,
d’ailleurs, le temps nécessaire au même mobile assujetti à parcourir la corde Am est évidemment
y g cos 9
1/équation du problème est donc
cl, si l’on diüérentic, il vient simplement
dr cos 2 6 . rffl r sin 2 0 '
l’intégrale est
rz= a \/sin 2O,
a désignant une constante arbitraire. Cette équation représente une lemiiiscale dont le centre est au point de départ du mobile, et dont l’axe est incliné de 45 degrés sur la verticale.
Si les deux temps, au lieu d’être égaux, devaient être dans un rapport cuiislani, on parviendrait de même à une équation intégrable.
rnoiSlF.MK PAIITIK.
