CHAPITRE III

SI U LE MOUVEMENT d’uN POINT MATÉRIEL SOUMIS A l’aCTION o'uKK OU PLUSIEURS FORCES CENTRALES.

I . Déterminer le moiiveinent d'un fioint matériel m , attiré on repoussé par deux rentres Jixes F, suivant la loi de l'inverse du carré des distances. On suppose que le mobile a reçu une vitesse initiale dirigée dans un plan passant par les deux centres d'attraction ('•').

Prenons pour axe des x la droite FF', et pour axe des r une perpendiculaire à celle droite menée par le centre dans le plan où s’accomplit le mouvement. Soient FF' = «, FP=o:, mP=-v, F//t=c, F'm=/'', mFx=6, w/F'.r = 6';

g. g' les actions exercées par les points P, F' à l’unité de distance, et qui seront considérées comme positives ou négatives, .selon qu’il y aura attraction ou répulsion.

(*) Mpmfttrcs h coiisnltiT: l^lèwoirvs dr VAcadvmie de Berlin , aiinre Euler. — Traité des fonctions rUiptiffurs , lome 1 , pape n , Lepi*ndre. — Mécanitpir anatjtique , tome II, pape io8, Lagrange. — Journal de Maihénialiqut'S pai rs et appliquées , M. Lîouvillc.

EXERCICKS UE MlU’.AMQUE.

Lrs équations du mouvcmciiL sont

lîF

En les multipliant respectivement par 2 rfx et 2riy, on en déduit d’abord V équation des Jorce.i vives ,

dx' ■+ dy

dt

c étant une constante arbitraire , ou bien dr‘‘

-l-r’rfO-' (g s' \

Pour obtenir une autre intégrale première, on élimine tour à tour des équations (i) les termes en r® et les termes en r'’, ce qui donne , eu égard aux formules

r'^dd'

rf’r W'x dt

r/r- •' dey dt ^ ’■

d‘‘x ’ dt

dt'

'^'dt'

dt

les deux équations

r'dd

dt

dt

r''dd'

dt

puis, multipliant la première par

dT

et la seconde par .

r' dd

dt

udv + vda - - d .

t et ajoutant les produits, on a, d’après la formule

r'r''dddd' (y r \

d.. =aig -dO — g' -, dd'\ = fl (gsm ddd — g' sin 0'</0'

u56 TROISIÈME PARTIE.

d’où , LTi iulégrant ,

r-‘r'‘d^dV

dO

fi[g' cm 0' — g cos 0 -I- c'}.

J/élimination de dt entre les équations (a) et (3) fournit l’équation dilïérentielle de la trajectoire

(4 ) a[dr- + (g' cosO' — g cosS = r” dO d9‘ ’

Les eonslantes c et c' dépendent des circonstances initiales.

Si l’on supposait , par exemple , que le mouvement commençât au point A de l’axe FF' situé entre les deux points fixes, et que la vitesse initiale A fît avec cet axe un angle HA J! = a ; en posant

— — = in , d ou t A = )

FA I -t- m