IF

r'dV , .

: ; — = A- sin a ;

dt

les équations (a) et (3) donneraient alors

, o/nA’sin’a

Examinons d’abord un cas particulier où l’équation (4) «îst immédiatement intégrable; c’est celui où les attractions des deux centres sont supposées égales — et où, de plus , les données initiales sont telles, que les constantes c et c' soient nulles.

Il résulte des expressions précédentes de c et c' que l’on

KXEnCICKS UE MÉCANIQUE. •^X^r

aura dans ce cas

2 V ma

Ainsi, pour réaliser l’hypothèse que nous allons discuter, il faut et il suffit que le mobile parte du point A avec une vitesse perpendiculaire à la ligne des centres et / 2

égale à ( * "1" "0 \/ ^ ’ quant à la position du point A entre

les centres, elle reste arbitraire.

Cela posé, l’équation (4) se réduit à

(5) a (cos V — cos 9)(dr^ + r^dfy‘) — 2 /r' (r r')dOdO' — o;

on a d’ailleurs les relations

a sin 6

sin (S' — 6)’

qui permettent d’éliminer de l’équation (5) r, /•' <ît dr: cette équation, toutes réductions faites, prend cette forme très-simple ,

(sin (Ida' -I- sin 0'rf0)’z= o.

Les variables se séparent;

■ r/0 da'

^ sin a sin 6'’

et l’intégrale est

(8) Ung y O.tang -jO' = D.

Pour reconnaître la nature de la courbe, on peut transformer cette intégrale en coordonnées rectangulaires; mais il est plus simple de revenir à l’équation dillérentielle (y) qui, vu la relation rsin 6 = r' sin 9', donne rdO = — r'da'i et comme on a d'ailleurs

r/r’ + r dO' = r/r" -f- r'^dV,

a sin 0' sin (0' — 0) ’

on en coueliU

r//** “ €lr'^

TROISIKME FAUTIF..

const.

Celle double équalion caraelcrisc une ellipse ou une liyperlvilc ayanl pour foyers les deux centres fixes; niais , comme tlO et d6' sont de signes contraires d’après l’étjualion (7), les angles 0 et S' varient (m sens contraires, ce (jni exclut l’ellipse ; donc lu trajectoire est une hyperbole ayant pour foyers les deux centres d'attraction.

D’après les livqiolhèses faites sur l’état initial, le point de départ A peut être placé où l’oii voudra entre les deux centres; mais une fois qu'il est fixé, la vitesse du mobile à l’origine est déterminée en grandeur et en direction. Si l’on suppose A plus [)rès de b ' fjue de F, ce sera la branche de droite de l'hyperbole qui sera décrite par le point m; dans le cas contraire, ce sera la branche de gauche ; si l’on sujiposait AF'= AF, la trajectoire se réduirait à la perpendiculaire élevée sur le milieu de FF'.

La vitesse v du mobile en un point quelconque de la trajectoire est fournie par l’équation (2) , où l’on doit faire g, c = o, ce (pii donne

Soient

— ni)