I -t- ni

en transportant l’origine des coordonnées au milieu O de FF', l’ctpiation de la trajectoire pnmd la forme

è’ y’ — ( c‘‘ — II’) j:' = — è- (c ’ — le) ,

et l’on a

par suite,

, ex , ex

4 sher

D’ailleurs

EXEUCICES 1»E MÉEAMyVE.

donc

d’où

dt' \ dx' ) 6’ (,r’ — é’ ) ’ df> '

dx- 4 gb' ex [x’ — b’’)

dt- (r’x’ — h'Y ’

La détermination du lieu qu’occupe le mobile à chaque instant sur sa trajectoire, est ainsi ramenée à une quadrature.

En intégrant par parties le terme

c'x’ dx ^x(x^ — 6’)

ou

xd.T

\jx , on ramène aisément la quadrature du sc-

Vx’ — h'‘ ^

coud membre de l’équation précédente, à ne dépeudre que de la seule intégrale ( : on tn

J \ix{x'—IÆ

Vx(x’ — h‘‘)

! b sjgbc e = I c’ \/x (x’ — fd)

roiive

Ji, vx{.r ’ — Idj

dx

Jb \x(x‘‘ — b‘‘)

•> elle U est pas execu-

Qiiant à l’intégrale table ; si l’on y pose

•r= — elle devient \/‘t f ’ ~i

fonction elliptique! de première e.spèce , dont le moduh! est \\i%.

Il est à remarqua- que, si l’on supposait c’ = iîù*, e’esl-

TROIS ItMF. PARTIE.

à-dire si le rapport ou m était égal à 2 — \/ 3 , la fone-

tion elliptique disparaîtrait de l’équation (9), et le temps t s’exprimerait exactement en fonction de x, par une formule algébrique.

Revenons au cas général :

Euler est le premier qui soit parvenu à séparer les variables dans l’équation (4); nous allons exposer, sommairement, les transformations auxquelles Euler a eu recours.

11 introduit deux variables nouvelles p et q liées aux angles j 6 et f 0' par les relations

tang V 0 . . .

tang^Q' ‘“‘'gT^-tang^ô = </’;

■ 2 vn

(1 ou sin 0 = — — 1 cos 6 =

Sin 6'=-^., cos6'=4=-^;;

et, en vertu des formules (6), a aq~

On en tire

■ I -t- tp

l{pdq qdp) "i-\pdq — qdp)

dO = Y ' ■ • , dQ'

et, par suite.

r/r> -4- rve> + ?•)(■ +/>*?’) [ dp^ Jï]

— p‘)Yl -h q'Y +

r»r'VSrfO'= ■^P'<l'){P''^'—<l"dp^)

Y~pY'['^q^Y

Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation ( 4 ), on reconnaît, après diverses réductions, que le coefficient de dp'‘

KXEIICICKS DE MÉCANiyiE. 'i6l

m; conlicnl tfuc la variable r/, et celui de d(j* la seule ■variable />, en sorte que réqualioii prend la forme

(lo)

\/p vq’

où les variables sont séparées.

On a