Q = ” ^ ^ ( I — 7') + «C7’ + ÎL

Quant à l’expression du temps en fonction des mêmes variables p et <jf, on la tirera de l’une des équations (2) ou ( 3 ), par exemple de l’équation ( 3 ) , qui donne

r'^dtldO'

dC^ ““ ï . n ’

a [ff coi 0 — g" COS 0 -H c )

et où l'on remplacera r, r\ 0 , 6 ' par leurs valeurs.

Toutes ces substitutions un peu longues et ejui demandent à être habilement dirigées, sont détaillées dans le Traité des Fondions elliptiques de Legendre (t. I, p. 41 1 et suivantes). On trouve, pour l’expression réduite de dt^

dt= a

on les variables sont également séparées.

Le problème est donc ramené aux quadratures.

L’intégrale de l’équation (lo), qui donne la relation entre q et p, dépend des fonctions elliptiques de première espèce.

L’expression du temps fournie par l’intégrale de l’équation (i 1), dépend des fonctions elliptiques de troisième espèce, et peut, dans beaucoup de cas, être réduite aux fonctions de première et de seconde espèce.

Signijicntion géoiuciriçiic des variables p et q. — Des valeurs trouvées plus haut pour r et pour /■', on tire

Ainsi la somme des rayons vecteurs F m, F'm ne dépend que de la variable p, et leur dillércnee ne dépend que de la variable q. Cela posé, soit =

un couple de valeurs déti-rininées de p* et q' qui définissent un certain point m de la trajectoire-, l’équation

e{i 4- aj

où r et /■' sont considérées comme seules variables, appartient à une ellijise dont F et F' sont les foyers, et qui

passe au point m ; son grand axe est — ^ : de meme,

l’équation

caractérise une hyperbole homofocalc qui passe également

au point /n, et dont 1 axe transverse est • Ainsi

chaque couple de valeurs des variables p et q représente les paramètres d’une ellipse et d'une hyjierbole ayant pour foyers les centres fixes , et dont l’intersection marque la position du mobile.

Cette propriété a fait donner aux variables p et q le nom de coordonnées elliptiques. La variable p relative à Tel-

lipse, ou la racine carrée du rapport toujours

comprise entre 1 et — i. Si p’ = i , on a r-(- r' = co , et, par conséquent, la position correspondante du mobile est infiniment éloignée. La variable q relative à l’hyperbole, ou

EXEIICICES (>F. MÉCAMyUE.

la racine carrée du produit lang ^ 6 . tang j 6', peut passer par tous les états de grandeur de — co à -f- oo .

Il est bon de remartjuer que pour que la description de la trajectoire soit complète, on pourra être conduit à attribuer à et à q' des valeui's négatives, et, par suite, à p et à (j des valeurs imaginaires.

L’ellipse et l’hyperbole homolbeales se coupent orthogoiialement on quatre points; mais on lèvera toute ambiguïté sur la position du mobile correspondante h un système de valeurs de p et de q, par la considération des coordonnées rectangulaires de ce point, cpii sont :

Si l’on suppose, comme ci-dessus, que le mouvement commence au point A situé entre les deux ctnitres fixes, on aura en ce point

rt ( I — rn 1

et, par conséquent,

L équation <7’ = m appartient à une hyperbole ayant A pour sommet , et pour foyers les deux centres. Or le mobile commence à décrire, suivant la direction .\H de sa vitesse initiale, un élément de sa trajectoire incliné de l’angle a sur l'axe Fl’'; selon que l'angle a sera aigu ou obtus, cet élément sera dirigé à 1 intérieur ou à rexterieur de l'hyperbole. Dans le premier cas, la diflérence (/■ — /■') va en augmentant avec le temps; et par suite, q diminue, puisque

, a(i — (P) , itii , .,

(• — r = — donc-— est neeatif au commencement

1 + tf‘ dt

du mouvement. Dans h; second cas, commence par être positif. Or commence évidemment par être positil, puis-

que P est nul à l’origine. Donc la considération de Télat initial suffit pour lever l’ambiguïté du signe du second membre de l’équation (10) ; on devra prendre le signe + si l’angle çc est obtus, et le signe — s’il est aigu.

Quelle condition doit remplir l’état initial pour que la trajectoire admette des branches infinies?

Si l’on fait r = <x> et r' = co dans l’ikjuation ( 2), il vient, en désignant par e la vitesse du mobile,

Ainsi, pour qu’il y ait une branche infinie, il faut que l’on ait c]>o. Or, quelle que soit la positiou initiale du mobile (sur l’axe ou hors de l’axe FF'), on a, en appelant To, r\ les valeurs initiales deret r', et k la vitesse initiale,

donc l’orbite sera finie toutes les fois que l’on aura

et elle ne pourra admettre des branches infinies qu’autant que l’on aura

Si g' = O, le mobile n’est plus soumis qu’à un seul centre d’attraction, et les formules précédentes fournissent les résultats connus pour le mouvement d’un mobile attiré par un centre fixe en raison inverse du carré de la distance.

Le lecteur, désireux d’approfondir tous les détails de cette solution, pourra consulter le chapitre déjà cité des Fonctions elliptiques de Legendre.

Une seconde solution beaucoup plus simple du meme problème a été donnée jiar iVl. Liouville, dans son Mémoire

EXEKCICES UE MÉC-VJNIQEE. a65

sur quelques cas particuliers où les équations du mouvement d’nu point inalcriel peuvent s’intégrer.

En partant des équations din’ércniielles du mouvement sous la forme que leur a donnée Lagrange, M. Liouville parvient, par un heureux choix de variables, à des équations où les variables sont séparées. Cette méthode s’applique avec le même succès à toutes les questions de dynamique où la fonction des forces satisfait à une certaine condition d’intégrahilité. Nous allons en présenter l’exjîosé succinct , puis nous l’appliquerons au problème d’attraction qui vient d’être résolu , et au cas imaginé par Lagrange d'un troisième centre d'attraction placé au milieu de la droite qui joint les deux autres et doué d’une action proportionnelle à la distance. Quant aux autres applications dont la méthode est susceptible, nous renvoyons au Mémoire de M. Liouville.

Les coordonnées rectangulaires (a:, y) d'un mobile situé dans un plan peuvent être remplacées d’une infinité de manières par deux nouvelles variables («, |B) dont .7', y sont des fonctions prises à volonté. Soient

on en tirera

df df , dm

et, par suite, on aura, pour le carré de l’élément ds parcouru dans le temps dt , une expression de la forme ds‘ —\dtt}-\- (xrfaf/p-t-vf/p’.

Supposons les variables a et ^ tellement choisies que l’on ait

ft = O et V = À.

L'expression de ds^ se réduira à ds- — X (^d a'- d

où /. désigne une fonction de a, |5. Nous verrons plus bas

TIVOJSIEME PARTIE.

qu en prenant pour a el [i les paramètres d ellipses et d'hyperboles homofocales, les conditions précédentes sont remplies. Cela posé, l’équation des forces vives prend la forme

V étant la Ibnctioii des forces accélératrices, et c une constante. A cette équation, il suffit d’associer l’une des équations générales du mouvement sous la forme donnée , page 7 ,

où r désigne la demi-somme des l'orces vives du système.

Comme il s’agit ici d’un simple point matériel, dont la masse est prise pour unité, l’on a

et, substituant ces valeurs dans l’équation précédente, il vient

(ifV. +1^-

<lt 2 f/zL \ <lt I \ lit / J f/a '

ou bien, en vertu de l’équation (12) , f/a

/il

(It

if/X.,, , f/V

Si l’on multiplie cette équation par 2X da, on peut l’écrire \ rit ] t/a

et, par conséquent, elle sera intégrable immédiatement , si

• EXERCICES IlE MÉCAMQüE.

— "tî contient que la variable x \ soit

(la.

d’où

fy(a) et F {( 3 ) sont deux fonctions quelconques J. L’équation dillérentielle précédente devient