V-.j< (a) -t- COJ ^a) — A yA — '•'(P

cette expression de dt est immédiatement intégrable.

Les équations

(22) a = const., P = const.,

sont celles de deux systèmes de lignes orthogonales; en sorte que chaque position du mobile dans son plan peut être regardée comme déterminée par l’intersection à angle droit d’une ligue du premier système par une ligne du second. En elfct, soient (a, ( 3 ) , (a -t- da, j 3 H- < 7 ( 3 ) les coordonnées de deux points infiniment voisins m, ni' de la tra-

• jectoire; ab,vil, les deux lignes qui se croisent au point m

exeucicEs de mécamqde. 269

et qui sont représentés par les équaiions ( 22 ) où les eonstanles reçoivent les valeurs de a et j3 pour le point m; fl'i', c' d' les deux lignes correspondantes pour le point m'; ces quatre lignes interceptent un quadrilatère inflniment petit rnprn'p', dont l’élément mm' ou ds est une diagonale , et l’on a

mm' — rnp m' p — 2 mp. m' p cos{mpm').

Or

mm' ou <ls^ ~ "k (dsi} fl li').

Si l’on fait dans cette formule d^ = o , ds ou mm' se change dans mp, puisque le point p répond aux coordounées («-+- </«, (3) ; donc

mp =kdaL‘, et de même mp'

Mais mp' peut être confondu avec pm' , dont il ne dillere que d’un infinimeiil petit du troisième ordre; donc on a

mm' = mp m' p ,

d’où

rns (mpm' ) = o , mpm' — -•

Réciprotpiemenl, si les équations a = const., (3 = const. représentent deux systèmes de lignes orthogonales quelconques, on pourra dire que le carré de l’élément de trajectoire aura la forme

ds^=kda}-Jr X'rffi’;

mais /' ne sera pas nécessairement égal à

En effet, l’arc s étant une fonction de a, j3, on a en général

mm' ou ds — A«/a ■+■

d’où

mp = \ dx, m' p = Bf/jî.

•rr.oisiÈME i'\nTiE.

mm' = mp m' p ;

ds-=i A"^/a=H- BV/p’.

Il importe de remarquer que les formules relatives à l’équation de la trajectoire et à l’expression du temps, ne cesseront pas d’ètie réductibles aux quadratures, si l’on remplace « par une fonction quelconque d’une nouvelle variable jjt, et |3 par une fonction quelconque d’une variable v; posons, en eilet, ,

f/a — \l /Il .(l^, dp — y'«.f/v,

m étant fonction de p seulement, et ii fonelion de v; il en résulte

2yü

Or

donc

( 2.3 ) ils- = À ' md p’ -t- iid V-'),

et / peut contenir les deux variables p. et v. Les équations P = const., V = coiist. représenteront encore deux systèmes de lignes orthogonales.

Les conditions d’intégrabilité (19) deviendront

(les fonctions (j> et iji ne sont plus les mêmes ([ue ci-dessus), et les équations (au) et (21) n’éprouveront d’autres raodi- Geations qu’en ce que les variables Gnics a et (3 y seront remplacées par p et v, et les dill'érentielles i/a, par ^hndp., \/iidv.

ylpplication. — Prenons pour p et v les demi-axes d’ellipses et d’hyperboles liomofocales représentées par les équations

U -Jl

où la constante ai désigne l’excentricité commune; T et r sont ainsi îles fonctions de a et v, «(ii’il

est aisé

WP

EXERCICES DE MÉCAMQIjE. 27 1

il’cxprinu'r en leniarquant que les équations précétloiiles ne Jillèrent l'une de l’autre que par le cliangenient de u} eu y", et, par suite, que les valeurs de p* et v’ satisfont à une même équation du deuxième degré

d’où 1 on conclut immédiatement

l)’’ x‘‘ — -j' , ou X

et si l'on change u* en u* — />’, y’ en — y* et X en i', on a , sans nouveau calcul ,

OU

On peut supprimer les doubles signes dans ces formules, en convenant <[ue y recevra, comme x, des valeurs positives ou négatives, cl quey'/j" — y* jiourra également changer de signe avec j', conventions qui reviennent à faire

■J — h cos 9 ; d’ 01'1 .r = P cos 6, ,v = y p‘ — sin 0.

Cela posé, on a

, pf/ï + vrfp b’ — y’.urfp y/p’ —

dx ~ i — — ^ 1 dr = .1 : = :^ ■ >

b h y/ p’ — Id A y/ ê’ — v’

d’où

ds^ = ( p> V») ( ^ rfp’ 4- ù-é) .

Les termes contenant le produit f/uc/yontdisparu, comme cela devait être, puisque l’ellipse et l’hyperbole homofocales SC coupent orthogonalement; et, en comparant celle expression de avec la formule (23), on a

De plus, la valeur de ?. a la forme exigée par l'cqua-

2J2 THOISIÈME PAllTIE.

lion (2.4) , c’esl-à-tlirc sc compose d’une fduclion de

(2 jointe à une fonction de v ; M. Liouville a démontré que le système de coordonnées elliptiques est le seul qui jouisse de cette propriété.

D’apr ès cela, pour que les équations du mouvement soient réduites aux quadratures par les formules (20) ( 21 ) , il faut et il suffit que la fonction des forces V satisfasse à la condition ( 24 ) , ou que l’on ait

fl’ v’

Revenons au problème de dynamique qui fait l’objet de ce chapitre.

Si l’on prend les deux centres fixes F, F' pour foyers communs des ellipses et des hyperboles, on aura

FF' ou a — ih, r z= fl -f X = fl -f- V, / = fl — v;

et comme V = il vient

fl’ — y’

c’est la forme voulue.

Donc , si l’on pose

N = (è’ v’) [A — (g- — ^')v — Cï’j,

l’équation diflérentiellc de la trajectoire et la diflérentielle du temps seront, d’après les formules (20) (21),

(/fl dy

2 dt —

('.es éfjualions ne doivent pas différer, au fond , des équa-

Digilized by Googic

TiXEUClCES IIE Mér.AMQUE. IjZ

'lions ( I O ) ot (il) f|UO nous a fournies la première méthode ; <•11 efl’ct, il est aisé de voir que les variables d’F.uler, p et q, sont liées à p et v par les formides

et , vu les expressions de P et Q, on trouve dp / b dp dij / b dj

v/P~V2 y'jq’ vQ~ V 2 ^n’

en posant, eonime on peut le faire, ci* + ic' = A.

Soient r^, les distances initiales du mobile aux deux centres fixes, A la vitesse initiale et oc l’angle que sa direction fait avec la ligne des centres; on en conclura les valeurs initiales dep, v, —■> ^ que nous désignerons parpm ’^D, u\, v', , à l’aide des éijuations

fio -t- = r„, fio — v„ = r,.

b COS a.

b sin a =

Po , , ,

vS ' \/ri —

Les valeurs des constantes arbitraires A, c seront ensuite fournies par les équations, déduites des formules (i 2) et (i 5 ),

f»o -t- Vo f*0 Vj

L’équation delà trajectoire peut s’écrire

i Vm i. v^n’

mais il peut arriver, comme on l’a déjà vu pour un ccr-

TUOISIEME PARTIE.

tain état initial, que la trajectoire soit une ellipse ou une hyperbole ayant*pour foyers les deux centres fixes, auquel cas elle aura pour équation

f* = (Xg OU V = Vg.

Cependant cette solution échappe à l’intégrale générale (29) où fx et V sont essentiellement variables.

Pour éclaircir ce point, remarquons que l’équation différentielle (25) admet, outre l’intégrale générale, la solution singulière

MN— o, d’où M = o ou N = o.

L’équation M = o fournira pour p des valeurs constantes, et l’autre ]\ = o en fournira pour v; à ces valeurs répondront des ellipses ou des hyperboles qui pourront satisfaire à la question, si toulejbis les circonstances initiales le comportent.

Examinons, par exemple, quelles conditions doit remplir l’état initial du mobile pour qu’il décrive une ellipse ayant les centres fixes pour foyers.

■ On aura constamment dans ce cas

fX = p.,

et cette constante po est distincte de b , puisque autrement le mouvement aurait évidemment lieu suivant la droite FT’'; donc l’équation M = o donne

et, par suite, on tire de l’équation (28)

Po = "•

Cette première condition détermine la direction de la vitesse initiale tangente à l’ellipse décrite; car les équations (a) , dans lesquelles 011 posera a, = o, donnent

EXElltlCES 1>E MÉCAMQEE. 2^5

Si l’on supposait que le point de départ du mobile lut situé sur le prolongement de la ligne des centres, on aurait Vo = , et tang « = oo ; la vitesse initiale serait donc per-

pcndicnlaire à l’axe, ce qui est , en efl'et , le caractère de la tangente au sommet d'une ellipse.

La condition p', == o n’est pas la seule ; il faut , en outre,

que l’on ait ^ j c’est-.à-dire que l’équation M = o

ait au moins deux racines égales à fto. Celte seconde condition a été établie par Lagrange [Mécanique analytique, tome II , page n5).

M. Serret l’a démontrée fort simplement [Journal de Mathématiques pures et appliquées , tome XIII , page 3o ) en remarquant que la trajectoire elliptique, indiquée par la solution singulière M — o, ne saurait convenir qu’au tant que l’intégrale générale (29) est en défaut-, d’où il

suit que l’intégrale définie \ ^ doit devenir infinie pour

P = fjt„ ; or cela exige que le polynôme M , qui déjà s’annule pour P =: po , contienne le facteur p — po à une puissance supérieure à la première. Ainsi l’équation M = o,

aura ses deux racines égales à po ; d’où l’oti eonclnt

îpo

et, par suite, la vitesse initiale A sera complètement déterminée par la formide (27)

po(pi, -H V,) p„ (p„ — Vj)

Digilized by Googlc

TKOlSItME PARTIE.

Si l’on suppose tour à tour tjue le mobile ne soit soumis qu’à l’altraetion «l’un seul centre fixe F ou F', on devra faire successivenienl dans cette valeur de A’, g'~o , g=o', et, par cousé(juent, en désignant par A'*, A"*, les deux valeurs «jue prend alors le carré de la vitesse initiale , on voit qu’on aura ,

De là ce théorème , dû à Legendre :

Soit A' la vitesse nécessaire pour qu Un point matériel, placé en un point donné d'une ellipse dont F et V sont les J'ojers, décrive cette ellipse sous l’action d’une force attractive émanant du foyer F ; soit A " la vitesse nécessaire pour que le meme point décrive l’ellipse sous l’action d’une força attractive émanant du foyer ¥' : si ces deux forces agissent à la fois sur le mobile, et que sa vitesse initiale A soit égale «t \/A^* -+- A''*, d décrira encore la môme ellipse. (Les attractions suivent la loi ordinaire de l’inverse du carré des distances. )

L’hypothèse p—h correspond, comme on l’a dit plus haut, à un mouvement rectiligne; tlans ce cas, pour exprimer tfue l’équation M = o a deux racines égales à A, on aurait la seule équation

rà’-t- (g--t- g') A — A = o, el.parsuite, tanga = o.

La vitesse initiale devrait donc être dirigée suivant la ligne des centres FF'; mais sa grandeur resterait arbitraire, ce «juc l’on conçoit bien à priori.

2. Lagrange a fait voir le premier que les équations du mouvement sont encore réductibles aux quadratures, quand on ajoute un troisième centre fixe, placé au milieu de la droite qui joint les deux premiers, et attirant le mobile en raison directe de la simple distance.

IÎXEr,i:iCES DE MÉCAJNlyUE. 3^ J

Eu ('Ilot, la l'onciion des forces devi(;nt alors

f ropré-sentaiit le pouvoir attractif du troisième centre O à l’imilé de distance, et R le rayon vecteur mené de ce centre au point mobile; or

Et l’on voit que celte expression satisfait encore à la condition d’intégrabilité

jj.’ — v’

seulcincut les intégrations seront plus compliquées que dans le cas précédent, et ne se réduiront plus à de simples fonctions elliptiques.

Les développements que nous avons donnés plus haut sur la solution singulière qu’admet l’équation dilférenticlle (su), subsisteront pour l’équation de la nouvelle trajectoire, sans autre modification que l’introduction, dans le polynôme fSI , des termes qui proviennent de l’attraclion/.

La méthode que nous venons d’exposer s’étend :

^ 1°. Au mowement d’un point sur une sphère, en remplaçant les deux coni(jues planes homofocales par deux coniques sphériques dont l’intersection a lieu à angle droit, et détermine à chaque instant la position du mohile.

1 °. Au /uGiwernent d’un point sur un ellipsoïde en le coupant par deux systèmes à'hypçrboloïdes homofocaux qui tracent les lignes de courbure de sa surface.

d. l'n mobile est sollicité par une jorcc dirigée vers

tllOISIE.ME l’AnriE.

un centre fi.i f, et l'on proi>ose de dctenniner la loi suivant laquelle l'attraction doit varier avec la dùlance pour que la trajectoire soit ou une spirale hyperholique ayant pour pôle le centre Jïxe, ou une spirale logarithmique de même pôle, ou une circonférence de cercle passant par le centre fixe.

En parlant de la formule donnée par M. Binet,

où R désigne l’intensité de la force centrale, r la distance du molplc au centre, 0 l’angle du rayon vecteur avec une droite fixe, et c le double de l’aire constante décrite dans l’unité de temps, on trouve aisément :

Pour le cas de la spirale hyperbolique dont l’équation a

est r = -i

pour la spirale logarithmique dont l’équation est r = a^,

(même loi);

et pour le cas ilu cercle dont l’écjuation est r = a cos 6,

4. Déterminer le mouvement d’un point -matériel ni soumis à l'action de plusieurs forces dirigées vers des centres fixes, et respectivement proportionnelles aux distances de ce point à ces divers centres.

Soient X, y, z les coordonnées du point >n relatives à trois ax<!S rectangulaires quelconques ( fg. 68) ; fl, h, c les coordonnées du centre A ; p l’inlensiié de la force accélératrice qui émane de ce centre à runité de distance ; pr sera son iii-

EXEUCICES IIE MÉCAMQEE. 279

lensité à la distance A m = r; et comme elle est dirigée de m vers A, ses composantes seront

fx(a — x), p(c — z).

Si nous désignons par les mêmes lettres accentuées les quantités analogues pour les centres A', A",.--? nous aurons les trois équations

Mais il convient de leur donner une autre forme. La première de ces équations peut s’écrire

<lt ' \ U U fJL . . /

ou , si l’on jK)sc

fia -h [l'a' 4 - /'a'" -h. ■ ■

— (f + (*' + f*" ■+• • • •){“' On aura de même

(3) = (fi + (x' -+- fl" 4-. ..)(<■, — z),

en posant

fx/»4-fi7/4-fxV-)-... fl -t- (x' 4- (x" -H • . . "

fxc 4-tx'c’4-.V'f"4-... ^

TnolSlKME P\UT1E.

Los équalioiis ( 1 ), ( 2 ), (3) sont celles tlu mouvomont d’un point attiré par une force dirigée vers un contre (ixe (1 dont les coordonnées sont />i, c, . L'intensité de cette force accélératrice est (p + p' -h p" . .) mG; clic varie donc proportionnellement à la distance du point m au centre d’où elle émane. Pour définir la position de ce centre, concevons que les quantités p, p', p",.-- représentent des poids dont les centres de gravité soient placés en A, A', A",. . . ; le point G sera le centre de gravité du système de tous ces poids ; cela résulte évidemment des valeurs de Z»,, c,.

La détermination du mouvement du point ni est ainsi ramenée aux formules connues.

liemarque. — Cette réduction d<; toutes les forces d’attraction à une seule dirigée vers le centre de gravitéj du système des poids p, p', p'^..., est une conséquence des propriétés du centre de gravité, et l’on pouvait l’cn déduire sans calcul. En efl’et, prenons sur le prolongement de la droite Gm une distance arbitraire, et plaçons

en H le centre d'un poids*X tel , que le centre de gravité du système p, p', p",. . ■ , X tombe au point m ; pour cela , il faut et il suffit que l’on ait

X// (p -f- p’ H— p’^ -f- . . .) /w Cf .

Or on sait qu’un système de forces égales à wr, p'/, p"/'",..., X/i, et dirigées respectivement suivant les droites mA, ntA', wiA'',...,mH serait en équilibre; donc l’une d’elles, la force X/i, est égale et opposée h la résultante de toutes les autres ; donc ces dernières ont une résultante dont la grandeur est X/t ou (p -t- p^ -f- fJ-"---) mGel dont la direction est la droite niG.

K\KucicES nr. mée