CHAPITRE IV
Si:n LE MOUVEMENT It’uNE SriIÈHE PESANTE ET IMTNLMENT PETITE PI.ACÉE HANS UN CANAL UECTIUGNE OU CIRCULAIRE QUI SE MEUT SITUANT UNE LOI DONNÉE.
I . Délcnnùtcr le mouvement d’une sphère injiuiment. petite, pesante, placée dans un tuhe cylindrique OA , d’un diamètre c^al à ccluide la sphère , et dont l’axe décrit d’un mouvement uniforme un cône droit autour de la verticale O z (fig. 69). On n’a pas égard au frottement.
Le principe des vitesses virtuelles, appliqué à l'équilibre des forces perdues par la sphère de niasse m, dont les coordonnées sont (x, y, z ) , fournit l’équation
Soit a l’angle constant zOA . , 0 l’angle POQ ; coinnic il croit proportionnellement au temps, on aura
6 = nt,
en prenant pour le plan dos zx la position initiale du plan s OA.
Les liaisons du système sont exprimées par l’équation précédente associée aux équations
.r = rsina cosO,
y = rsin a sin 0 , z = r cos a ;
on en tire o x , dy , 0 en ayant soin de ne pas faire varier le temps t , ou, ce qui revient au même, l'azimut 0 -, cai', ii'i . I('s liaisons du sysiiTue dépendent du temps, et le
■282 IKOISIEME VAUTIE.
tube dans lequel la splière m est assujeitie à rester, doit être eonsidéré comme conservant la position qu’il avait au momcntoii l’on imprime le déplacement virtuel. On a ainsi
O X = sin a cos d Sr,
S y = sin a sin 6 5c,
5z = cos a 5 r;
l’équation (i) devient, en omettant le facteur w et égalant
à zéro le coeiBcient de dr,
sin a cos 9 — — + sin a sin 9 — — 4- ( — . -f- S 1 cos a = o. dt' dt^ \dO “/
Pour éviter la transformation directe en coordonnées polaires des trois dérivées du second ordre qui entrent dans cette équation , on l’écrira d’abord ainsi :
Or
d’où
et
dt‘ dt^
Z — h er cos a = O
rff* ®
xdx -yydy -f- zdz = rdr.
xd‘‘x -y yd'‘y -t- zd'z = dr‘ rd'r — (rfx’ dy' 4- f/z’) ; maison a déjà vu (page 8 ) comment l’expression
( dx‘‘ 4 - c/r’ 4 - rfz’ )
se transformait en coordonnées polaires : seulement il faut remarquer qu’ici l’une des deux coordonnées angulaires (a ) est constante. On trouve ,
dx‘‘ 4 - dy'^ 4 - dz‘ = dr' 4 - r’ sin' \
par suite, l’équation du mouvement devient, toutes réductions faites,
dV dd^
— r sin a 1- s*:os a = o.
dt^ dO
Si le mouvement donné du tube n’était pas uniforme,
EXEUCICES DE MÉCAMQUE.
— serait une fonetion comme de et la question serait ramenée à intégrer une équation linéaire du second ordre à coefficicuts variables et avec second membre, ce que l’on ne sait pas faire en général ; mais, dans le cas qui nous occupe,
— est égale à la constante // , et ré<|ualion (3) prend la forme
fl'r
Ifô
n' sin* a
dont l’intégrale est
g cos a ii‘ siii’ a
ffCOSa nfsîna — nf sin a
r — ^ — : = Ae -\-nc
sin* a
Les constantes A et R dépendent de la position et de la vitesse initiales de la sphère dans le tube.
Supposons qu’au commencement du mouvement la sphère ait été placée au soinm«-t ü, <;t lancée dans le tube avec la vitesse h ; on aura ,
pour r = O ; /• = ü ,
nk sin a — g cos a sin’ a
nk sin a -f- é' cos a 2 n‘ sin’ a
et
g cos a sin a — ^cosa «/sin a
n’sin’a 2/j’sm'a
nk sin g -I- g- cos a —nifincc 2«’ sin’ a
Distinguons trois cas :
i". Soit k ]>
g' cota «
La valeur de — que l’on tirera de l’équation précédente,
étant constamment positive,/" croit sans cesse avec tj le mobile s’éloigne donc indéfiniment de l’origine; la vitesse avec lat|uelleil décrit le tube croit aussi sans limite, à par-
TllOlSIEME rAlVTlE.
. 1 iw , <lr .
tir UE 1 epoque ou — altuinl un nunimum , époque marquée par l’équation
rfV ,, , 2«/sin«- nA’ sin a 4 - ff cosa
dt ’ nk sin a — g cos a
, ^cota
et alors r
2". Soit k —
L’expression de r se réduit à
sin’ a \ /
elle est constamment croissante, mais elle ne saurait dépasser ni même atteindre la limite ; la valeur de^
^ rt’ sin’ a dt
est décroissante et s’approche indéfiniment de o. Ainsi le mobile s’éloigne toujours de l’origine et s’approche, avec une vitesse indéfiniment décroissante , d’un point du tube
1 II • - Il • ^ g cos a . . ,,
distant de I origine de la quantité > sans jamais 1 at-
teindre.
