Soit

„ ^cota , / *1 •

hn posant = A* , il vient

— - V — [/ic"‘ “ H- (2 /! + h\c~’"- *1 ;

« sin a 2 « sin a '

(If j

la valeur de — s’annule en passant du positif au négatif,

2 n sin a \

la valeur correspondante de r,

EXEKCICES DE MÉCAMQEE.

csl un maximum. Le temps conuiiuaiu a croître, est

constanimenl négative, et sa valeur absolue croît jusiprà rinfini ; /'décroît jusqu’à rinîini négatif. Ainsi, le mobile , après s’ètre élevé dans le tube jusqu’à la distance

h -f- k — sj h -4- 2 /■ j , , - 1 1

— i -t redescendra , atteindra de nouveau

n sin a

l’origine -, puis (le tubeétant supposé indéfini en longueur) , le mobile continuera à le parcourir de haut en bas, avec une vitesse qui ira en croissant jusqu’à l’infini.

Si l’on supposait a = le tube décrirait un plan horizontal, et la pesanteur n’influerait plus sur le mouvement de la sphère qui serait donné par l’équation /■ = Bc""'.

Ce cas a été examiné par Bernoulli.

Pour réaliser l’iiypollièse où la sphère ne reçoit pas de vitesse initiale, supposons qu’elle soit retenue dans le tube par un fil inextensible, de longueur OA = /'o, attaché au point fixe O (fig- 70) , et que le fil vienne à se rompre au moment où l’axe du tube fait un angle 60 avec l’axe des x\ ou aura, pour t = o,

r — r^, —= o , et conséquemment A = B = — ;

donc

Soit CT l’arc de cercle de rayon OA, décrit pmidanl le temps t par le point A du tube avec lequel coïncidait la sphère au moment de la rupture du fil ; on a

Celte équation , comparée avec celle d’une chaînetle de

TlUtlSIF.ME P.VKTIF..

paramètre r„ , nioiiln- que la trajectoire décrite par la sphère n est autre que la courbe qu’on obtiendrait en construisant d’abord la cbaîuettc LAL' de paramètre /’o, tangente par son sommet au cercle de rayon OA; puis enroulant la tangente AT sur le cercle, et portant les ordonnées MP de la cbainetlc de p en m sur les prolongements des rayons.

Considérons enfin le cas où le tube serait assujetti à tourner d'un mouvement uniforme autour d'un axe horizontal, perpendiculaire à sa direction. Ce tube décrit alors un plan vertical , comme une lunette méridienne.

Pour déterminer le mouvement de la sphère à l’aide des

calculs précédents , on fera a = et l’on supposera que la

pesanteur soit dirigée suivant le prolongement de l’axe des y considéré comme vertical; l'équation (i) prendra la forme

/rf’x . a‘Y . \

et l’on en tirera la suivante, analogue à l’équation ( 2 ),

Cette équation s’obtient encore par un autre procédé qu’on aurait pu suivre dans le premier cas : il consiste à introduire la pression iN exercée par le tube sur le mobile, ce qui permet de traiter celui-ci comme un point libre. On a ainsi les deux équations ;

avec

'dF ''

-f-Nf-,

( .r = r cos 0 , ( y = ! siii 0.

EXERCICES IlE MitCAltIQL'E. 287

(Nous admettons que le mouvement de révolution du tube tende à augmenter l’angle AO a? = Ô.)

L’élimination de jN redonne l’équation (4)- Enfin celle-ci se transforme , comme on l’a vu dans le premier cas , en coortlonnées polaires; il vient

i/’r dtp

— r— h ? sin 0 = o.

dt^ df ®

Si l’on y remplace 0 par nt. o>, et qu’on intègre, on a

r=z-^ sin ( -t- f. ) -H A + Be- ~ 7, rP '

Nous laisserons aux lecteurs le soin de discuter cette intégrale. On pourra, par exemple, supposer que le tube parte de la direction borizontalc ( w = o), et que le mobile n’ait pas de vitesse initiale.

Les équations (5) feront ensuite connaître la valeur de la pression N à cbaque instant; on en tire

d’où

~di

- — N c gr cos 0 = O ;

xdy — ydx

= r' di) ,

xd'y — yd'x

r/'O dr d(t

en remplaçant 0 par //t -t- w, il vient

xd'y — yd'x dr

dt' dt

et, par suite.

N r= o.u — g cos (h/ -I- '•>) = 2 g CüS (nt -t- w )

H- 2 /i’(a«'"‘^'-'— Be‘

2. Une roue circulaire porte, à sa circonférence , un canal annulaire , dans l’intérieur duquel on a introduit

TIUJISIKME l'AKTlE.

une sphère homogène pesante m, d’un très-petit diamètre égal à celui du canal; cette roue s’appuie par un point de sa circonférence, sur un plan horizontal AOFi (üg. 71), et, par son centre S, sur un axe fixe vertical SO incliné au plan de la roue d’un angle connu OSB = a. On suppose qu’on fasse rouler la roue sur le plan horizontal , de manière que son point d’appui décrive un cercle de rayon OB avec une vitesse constante. Le cône droit dont l’axe est SO et le demi-angle au centre x , est ainsi touché successivement , suivant toutes ses génératnces, par le plan de la roue mobile.

On demande les lois du mouvement du centre de la sphère, abstraction faite du frottement.

(Une solution inexacte de ce problème a été donnée dans le tome XIX des Annales de Gergonne , page d6o. L’auteur prend pour expression de la force accélératrice ellbc-

tive qui anime le point »t, la quantité r étant le

rayon de la roue, et 6 l’angle que le rayon Sm fait avec un rayon lixe tracé dans le plan de la roue. Mais il y a là une erreur grave , dont l’elfet n’est rien moins que de confondre l’élément de la trajectoire réellement décrite par le mobile, avec l’élément de la circonférence de la roue.)

Prenons pour axe des z la verticale SO, et faisons passer le plan des z.v par l’arête SA, suivant laquelle la roue mobile touchait le cône à l’origine du mouvement; au bout du temps t, soient SB l’arête de contact, SC la position qu’occupe à cette époque, sur le plan de la roue, le rayon qui coïncidait primitivement avec SA ; S/n le rayon vecteur delà sphère : sa position sera déterminée par les angles

mSO = (p et PS.r = il/,

SP étant la projection horizontale de S/n; mais ces deux angles ne sont pas indépendants rtiii de l'autre.

EXERCICES UE MÉCANIQUE. u8q

Soit 6 l’angle variable CS/;t ; si l’on désigne par A la vitesse constante cl donnée avec laquelle l’angle AOll est décrit, on aura

angle AOB = kt ;

et comme il résulte de la nature du mouvement que arc AB = arc BC ,

on en conclut

angle BSC = kt .sin a , et

angle wSB = 0 — kt sin a :

nous désignerons, pour abréger, ce dernier angle par w,

(1) w = Û — kt sin a.

Cela posé, il est facile d’exprimer les angles ^ et t|/ en fonction de w. En ellet, l’angle trièdre rectangle SOwt II donne d’abord

( 2 ) cos Ÿ = cos a cos O).

Soit SB' la projection horizontale de l’arête SB; on a = PSB' H- B' Sx = PSB' + BOA = PSB' -h kt.

PSB' mesure l’angle dièdre qui a pour arête SO dans ic trièdre déjà considéré. On a donc

par conséquent.

tang PSB' =

tangu sin a ’

kt -I- arc

tang U sin a

A l’aide des formules ( 2 ) et (3), le problème est ramené à déterminer w en fonction du temps. Comme nous n’avons ici qu’une seule fonction variable m, il suffira d’employer une seule des équations de Lagrange,

' da' dT

• ", ." dt du du ’

où V désigne la fonction des forces et '1' la moitié de la ■ «9

2qo troisième partie.

force vive du mobile. On a

V = mgr cos <j> = mgr cos a cos w , dz‘\ I

I — #» »-3 I L» — l— ^in ' cû ' — -

. . sin'ç ,

^ dt

Si l’on substitue pour ^ et ^ leurs valeurs tirées des

formules (- 2 ) et (3), on trouve que l’expression de 'P se réduit à cette forme très-simple ,

T = - 2 sina./ w' -I- (1 — cos’a cos’oi)

En définitive , l’équation du mouvement est

r — — r cos’a COS 6> siii u 4^ -1- ff cos a sin M = o ; df

en la multipliant par 2 <7w, on l’intèg;re une première fois, et l’on a

r cos’a cos’ M — Ig cos a cos w c = O ,

c étant une constante arbitraire, qu’on déterminera d’après les circonstances initiales. Enfin, le calcul de <ù en fonction ‘ de t est ramené à une quadrature

J r*" -^^r.dtà

w» V 2 ^ COS a . cos M — A ’ r cos’ a cos’ u — c

cette intégrale ne peut être calculée que par approximation , excepté pour certaines valeurs de c. Si l’on fait k — o, ce qui revient à supposer la roue immobile, w se confond avec 9 , et l’on retrouve la formule ordinaire du pendule simple; seulement, la gravité g est ici remplacée par sa composante g cos a dans le plan de la roue.

ro étant connu en fonction de t par l'intégrale précédente, les équations ( 1 ), ( 2 ) et (3) ilonnent 0, Œ et ip en

fonction de la même variable. L’élimination de t entre les expressions de ® et fournit ensuite l’équation polaire de la surface conique décrite par le rayon vecteur de la sphère. Si l’on transforme cette dernière équation en coordonnées rectilignes, au moyen des relations

3=/‘cos!p, tang® = -5

cette transformée, combinée avec l’équation

détermine la courbe à double courbure décrite par le centre de la sphère dans l’espace ; enfin la vitesse de la sphère dans sa trajectoire sera également connue en fonction du temps par la formule ,

K do>\' . (Ira ^

,lt } dt '' > \

Considérons le cas particulier où l’on aurait, k l’origine du mouvement,

(ira

■ O et

ou bien, ce qui revient au meme,

H ~ O et — = A sin a .

C’est ce qui aura lieu si la sphère est primitivement en A dans le canal , et ({u’elle y reçoive une vite.sse initiale précisément égale à celle avec laquelle le rayon SA décrit la circonférence de la roue. Dans cette hypothèse, l’équation (4) donne

c= 3 g cos a — r- cos' a ,

et cette valeur, substituée dans l’équation (5), conduit à' l’intégrale

cos w ) [ k ‘ T ços’ a ( l H- cos « j — 3 g cos a J

aga TROISIEME l'ARXIE.

qu’on peut obtenir sous forme ûnie ; car, en posant

tang-|-w=«, /’rcos’a — gcosa = a, geosa — h, cette intégrale devient

J uyja — bu^ V « V • “ /

et, en remplaçant u par sa valeur, on a

1 1 /“ — \/ “ — ^ tang’ - M + sja'

tang — O)

Pour déterminer e', on fait, dans cette équation, t = o et M = O, d’où l’on conclut c' = o, et, par conséquent, tang~ w sei'a constamment nul.

Ainsi, dans l’état initial supposé, la sphère ne quitterait pas le plan horizontal , et décrirait le cercle AB avec une vitesse constante égale à Avsina.

La formule (5) s'intégrerait encore complètement, si l’on supposait un état initial tel, que la constante c fût nulle, et qu’en outre le coefficient de cos œ sous le radical

(iQ

fût égal à celui de cos^o). Soient et les valeurs ini-

tiales de G et de — : l’hypothèse dans laquelle nous nous plaçons entraine les deux conditions

= cos’ a f OS 6, ( I — COS 0„ ) ,