CHAPITRE PREMIER
SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE LA DYNAMIQUE RÉDUITES AU PLUS PETIT NOMBRE POSSIBLE DE VARIABLES.
L’illustre auteur de la Mécanique analytique a donné , dans la deuxième partie de cet ouvrage, une forme remarquable aux équations difl’érenticllcs de la dynamique réduites à ne contenir que les seules variables dont dépend, à chaque instant, la position du système. Ce qui caractérise ces équations et les rend cmineninieiit propres à la résolution de la plupart des problèmes , c’est que les termes où entrent les dillérenticllcs relatives au temps proviennent uniquement d’une seule fonction T, qui n’est autre que la demi-somme des forces vives de tous les points du système.
Cependant ces équations si utiles sont omises dans les Traités de mécanique les plus répandus.
La démonstration de Lagrange [*) n’est pas complète; nous allons d’abord montrer eu quoi elle est insuffisante
(*) fircanique analytique , seconde partie ^ section IV.
PHEMIERE 1‘AHTIF,.
Représentons par
(i) I. = O, M = O, IS = O,
les équations de condition, au n ombre de é, qui existent entre les coordonnées x,y, z, x\ . . . des diirércnts points d’un système en mouvement, et qui sont données par la nature de chaque problème. Soit n le nombre des points matériels; on peut tirer des équations (i) les valeurs de <' coordonnées en fonction des 3 « — /antres, ou, plus généralement, on peut concevoir que les 3 n coordonnées soient remplacées par des fonctions connues de 3 n — / nouvelles variables S, y, , et par cette transformation, on sait
que la formule générale de la dynamique
(=) 2 (y-«' ^ v+ (z-m^yz = o
se partage en ‘in — i équations distinctes , qui suffisent pour déterminer les valeurs de 6, çp, i]' , . . . en fonction du temps.
Cela posé, l’analyse de Lagrange suppose que l’expression de chaque différentielle dx en fonction des nouvelles variables 0, y, ne diffère de la variation corres-
pondante èx que par le changement du d en à. Or cela a lieu, en eÜ'et, lorsque la fonction des variables 0, ip, ;i,. . ., que.x représente, ne contient pas le temps t explicitement; mais il n’en est plus ainsi, si x est une fonction explicite de t et de 9, çp, i{/, . . . . Soit
on a
et
df , rf/ . df , df ,,
dx -7- d t — dtt — — do A -f- . . .
dt
dt,
, d/. rf/. df^,
^9 do d')^
THÉORIES GÉNÉRALES
La dill’érenliclle dx renferme le terme
df
dt, qui n’a pa.s
son correspondant dans la variation dx, puisqu’on prenant cette variation on doit laisser t. constant.
C’est pourquoi nous croyons faire une chose utile à l’enseignement en reprenant l’analy.se de Lagrange, et lui donnant toute la généralité désirable [*) ; en même temps nous eu simplifierons l’algoritlime.
Soient donc 6,ç, 'Pt • • les variables réduites au plus petit nombre possible dont x, j', z , x', . . . sont des fonctions connues , déduites des équations (i). Comme ces dernières peuvent contenir le temps t explicitement, cette variable entrera généralement dans les fonctions que x,^, Z , x', . . . représentent. Posons
rfO
ht
jt ^
^ dxdrdz^^^ .
Un aura pour — i — > Ox, üy, oz^ des expressions de
la forme
^ a -f- -f- fï, tp^ -f- a-i -+- . . . ,
— = y -f- c9' C| -H -4- • • • > ^z = ciî9-t-c,5(f-f-CjJi]<-J-..-;
(*) A la fin de la démonstration de I-agrange on lit ces mots : « Celte e transformation aura lien également, quand même parmi les nouvelles « variables il se trouverait le temps I, pourvu qu'on le regarde comimc con- « stant , c'est-à dire qu'on fasse j < = o. » Mais les calculs sur lesquels cette transformation repose doivent alors être modifiés; et ce sont ces modifications necessaires qui font l’objet de ce chapitre.
rnEMIKRE PARTIE.
a,^,y rpprôsciilcnt les dérivées partielles des fonctions X, Z, par rapport à t, si eettc variable y entre explicitement. Ces termes ne se retrouvent pas dans les valeurs de ây, oz.
a , /3, y, a , h, c, a,, i,, c,, . . . sont des fonctions connues de
Cela posé; avant de substituer dans l’équation (a) les valeurs de x, z , ^ j • • •» ôx, etc., on transforme le tri-
nôme
dO
en deux groupes contenant des diflércnticllcs du premier oixlrc, et soumis, l’unau signe i/, l’autre au signe d. A cet cflét, on a identiquement
df
dt'
d / d.T „ dy ^ rfz . \
dt \ dt dt dt I
l / dx^ dy dz‘ \
en sorte que l’équation ( a) prend la forme
d I dx dy ^ dz
" dt\dt
„ \ 1 / dx' dy dz ’\
Sz] 5 — f- I
I a \ dt' dt' dt' /
ZSz)—.o.
Maintenant on calculera séparément les deux quantités
dx
di'
dt '
dz I (dx'
dt 2 \rfr’
dt' dt')'
Mais, comme on devra finalement égaler à zéro l’ensemble des termes que multipliera chacune des variations indépendantes ÔO , dif,..., et que d’ailleurs ces variables entrent évidemment de la même manière dans les calculs ,
TIIÉOIIIES GÉNÉHALES. 5
on s’attachera seulement à faire ressortir la composition du coefficient de âO.
On aura ainsi
l(*Vg + :ï) = * + B.' + C?l’ + DO- 2 \de^ dO do] 2 ^
\dt de dl
en posant , pour abréger,
a’ -+- P’ + y’ = 2 A , aa + èp + cy = B, a» -4- - 4 - c» = C ,#
(la, + bb, -H ce, = D .
Différentions la première expression par â et la deuxième par d-, il viendra ^en observant que = â.^ = â.6’'j>
ijdæ^ dy dz^\ (d\ „dB 0"rfC „,rfD \, -f- ( B -f- C -4- D -f- ..,)(? 0^ -f- * • • t
dt \dt
Sx -
.^Sy -^.±^3z'j = ±{B + C0' + Dy'-^...).5-0 - 4 - ^ B H- CO' -f~ D y’ -f-
Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation (4) , les tetmes multipliés par dQ' disparaissent d’eux-mémes ^ c’est cette réduction qui fait le succès de la méthode ; il reste , poulie coefficient de la variation o0,
l'dA
\dÔ"
C0'4-D/+...) „rfB 6 " dC
dD
dO
dO
