CHAPITRE V
Sun LK MOUVEMENT o'uN POINT MATÉRIEL ASSUJETTI A DÉCRIRE UNE COURBE PLANE TELLE, QUE LA PRESSION EXERCÉE SUR LA COURBE SOIT DANS UN RAPPORT DONNÉ AVEC LA FORCE CENTRIFUGE.
1 . l/n point matériel pesant est assujetti à descendre dans un plan vertical, le long d'une courbe telle, que le rapport de la pression exercée en chaque point par le mobile à la force centrifuge soit constant. On propose de déterminer cette courbe.
Soit AmB [Jig. 72) la courbe cherchée que nous rapporterons à deux axes rectangulaires O x, O , ce dernier dirigé dans le sens de la pesanteur. La pression au point m a
pour valeur ± g: > le signe -t- convient aux courbes
concaves vers l’axe des x, et le signe — aux courbes convexes; par conséquent, si l’on désigne par (ra -+- i) le rap-
port constant de cette force à la force centrifuge on doit
avoir
lix , p’ g -=z±n-.
as (5
Soit igh le cari'é de la vitesse au point de départ du mobile dont l’ordonnée est le principe 'des forces vives donne
v^=z7.g{y—y,->rh) = 7.g{y — k), eh posant, pour abréger, y a — h = h. * .
On a d’ailleurs
pdp • dy
dx
’’ ~ dx' ds
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TROISIEME IMRTIE.
on regarde l’arc s comme croissant avec x-, le signe -I- de l’expression de p convient aux courbes convexes vers l’axe des X, et le signe — aux courbes concaves.
Lorsqu’on substituera ces valeurs dans l’équation (i), le double signe disparaîtra , et l’on aura
— dy a pdp
Bien que le facteur g ait disparu de cette équation, il n’en faut pas conclure que la courbe cherchée sera Indépendante de l’intensité de la pesanteur; car li , qui est le rapport du carré d’une vitesse à 2g, et par suite J, dépendent de cette intensité.
En intégrant, il vient
c étant une constante arbitraire; on en tire
J, a détermination delà trajectoire est ainsi ramenée à une quadrature qui n’est exécutable que pour certaines \aleurs de fl. ün peut se contenter de prendre le radical avec le signe +, ce qui donnera les points de la courbe dont Vj croit avec x; car l’intégrale qu’on obtient ainsi est générale. En prenant le signe — , on retomberait sur le même résultat.
• La /lidérenliellc préeédenle p<‘ul s intégrer dans ([ualre
EXEHCICES I>K MÉCAMQliE.
cas, savoir ;
D après la valeur de la pression (n les valeurs
positives de n doivcut répondre à des courbes concaves vers l’axe des x, et les valeurs négatives de n à des courbes convexes. Examinons ces dillercnts cas.
1°. n = i. La pression est double de la force centre-
f^ge-
La formule (g) devient
é-quation d'une cycloïde dont la base horizontale est distante de l'axe O a: de la ([uanlité h=ja — et dont le
cercle générateur a pour rayon -•
Soit PO PC = /i; on aura OC=/-.
l.,a base de la cycloïde sera l’horizontale CDE. Si l’on supposait /i = O, c’est-cà-dire si le mobile partait du point A sans vitesse initiale, l’origine de la cycloïde serai tau point A
lui-mènic. Le rayon -ducerclcgénérateurrestera arbitraire
tant qu’on n’assignera pas un second point B par lequel doit passer la courbe; si ce point est donné, on exprimera que scs coordonnées vérifient l’équation finie de la cycloïde, d’où l’on conclura la valeur de c; ou bien on pourra déterminer c par une construction géométrique fondée sur ce que toutes les cycloïdcs sont des courbes semblables, ainsi qu’on le fait dans le problème de la brachistoclirone.
Il résulte des calculs précédents que la courbe jouissant de la propriété que la pression exercée en cha<jue point pai- lin mobile pesant assujetti à la parcourir est double de la fcin-e centrifuge, n'esl' autre ipie la bracliistoclirone.
ayS TllOISlE.ME TAIITIE.
Nous géuéraliserons plus bas celte propriélé- 2 “. n = — I . La pression est constamment nulle. La formule ( 2 ) donne
l’intégrale est
elle représente une parabole dont l’axe est vertical , et qui tourne sa convexité du côté de l’axe des x.
Ce résultat pouvait être prévu d’après les lois du mouvement d’un projectile dans le vide; on sait, en elïet, qu’il décrit librement une parabole dont l’axe est parallèle à la direction de la pesanteur, et dont la tangente à l’origine est la direction de la vitesse initiale. Il est clair que si l’on assujettit le mobile à se mouvoir dans un canal ayant précisément la forme de cette parabole, il n’y aura aucune réaction de la part du mobile contre les parois du canal.
3°. n = \. La pression est à la force centrifuge comme 3 est à 2 .
On a
d’où
équation d’un cercle de rayon arbitraire c, et dont le centre est distant de l’axe 'Ox de la quantité k = yo — k.
4°. n = — L La pression est moitié de la force centri-
On a
d’où . •
EXERCICES ni-; MÉCANIQIE.
En transportant l’origine au point (x = c ' = A), cette intégrale prend la l'orme
c’est l’équation d’une chainelte dont le sommet est à la distance c de l’axe des x.
2. Nous avons reconnu plus haut, dans le cas d’un mobile pesant, une propriété caractéristique de la bracliistochrone, savoir ; qu’elle est la courbe telle, que la pression exercée en chaque point par le mobile assujetti à la décrire est double de la force centrifuge. Celte propriété s’étend h la courbe plane décrite par un point matériel sous l’action d’une force quelconque, pourvu que le principe des forces vives ait lieu : c’est ce que nous allons faire voir.
Considérons un point matériel assujetti h rester dans un plan, et sollicité par une force dont les composantes X, Y satisfont .à la condition
X dx -y Y dy — f/.ç (x, y).
En désignant par e la vitesse du mobile, ou a
(3) I l•‘=^2lf{x,y}-hc,
c étant une constante arbitraire; et, par suite,
vdv
vdv
Soit {« -f- 1 ) le rapport de la pression à la force centrifuge ; les équations différentielles du mouvement prendront
la formq - .
d'x dv ' ■ , dy
■ (//’ ■ dx ■ * a d.i
dv . , v"- d.i
Ty-^!‘+^:
3oo
Pour en déduire l’équalion de la trajectoire, il faut éliminer le temps t ; à cet ell'et , il n’est pas nécessaire de combiner entre elles ces deux équations ; la première suffit, en ayant égard à l’équation (3), qui fait déjà connaître v en fonction de or et j .
donc
vdx
. ‘’rf. — —
d' X ds
~dÔ ~ Ils
ds
dv dx
ds ds
l'ar cette transformation, exprimée en fonction
de différentielles où la variable indépendante n’est plus le temps, mais telle variable qu’on voudra, l’arc s par exemple.
On a d’ailleurs
I dy P ds
ds ’
ces valeurs étant substituées dans la première des équatioiis du mouvement, il vient, toutes réductions faites,
dx
dv
dv d e
nv
ds .
dx
ds ds
Cette équation , dans laquelle u doit être remplacée par y'ao (x, y) -h c, ne renferme plus le temps; c’est donc l’équation de la trajectoire.
On aurait pu l’obtenir plus simplement en partant de rcxjiression connue de la pression N sur une courbe plane,
N = - -t- R cos 0,
KXERCICES DE MÉCAKIQVE. OOC
R désignaiil la force el 0 l’angle que sa direction fait avec la normale dirigée en dehors de la courbe. Car on a
dv dy dy dx
Rcos0 = — 0 -r ^ ~r ~r '> dx ds dv ds
donc
p’ p’ / riv dy dv d.v\
^"-^'^P=7~''\:dxt-:fy-d7)-
Réduisant, ctremplaçant - par la valeur employée ci-dessus, on a l’équation (4)-
Actuellement, supposons que le rapport constant de la
pression <à la force centrifuge doive être égal à 2 ; on aura
n = r , et l’équation (4) deviendra
(5) ds dv dv dx
ds dx ds ds
Il s’agit de démontrer que cette équation est celle d’une brachistochrone, c’est-à-dire de la courbe qu’un mobile,
sollicité par la force dont les composantes sont "^5 , doit
suivre pour aller d’un point (a:o,7o) à un autre (x, ,y, ) , dans le moindre temps possible.
En désignant par s l’arc de la brachistochrone qui doit être parcouru, la condition du minimum s’exprime par
n - 5ds ds 3 =ro;
est une fonction connue de x et r,
3oa TROISIÈME PARTIE.
Et les limites de l’intégrale étgut supposées fixes , on peut se borner à faire varier l’une des deux coordonnées , x par exemple : on a ainsi
S ~ = —— Sx-, I’ dx
d’ailleurs on a donc
ds S ds = dx'S dx ~ dx d Sx ,
fidx , ^ \
( — — do X -h ds — — J X I = O .
\ V ds dx j
Intégrant par parties le terme affecté de la double caractéristique d à , puis égalant à zéro le coefficient de d X sous le signe f, on a
ou
enfin
dx V ds
ds dv I ^ dx dx dv
!>’’ dx V ds ds v ‘ ’
, I ds du I dx
C'est l’équation (5).
EXEIICICES UE MÉCANIQUE.
