CHAPITRE VI

nE i.A coe'ude synchrone. — théorèmes sur les

BRACmSTOCHRONES.

i. On suppose une série de cycloïdcs Arn^ si-

tuées dans un plan vertical, issues d’un mémo point A, et ayant leurs hases sur une même horizontale A ,r (Cg. y3 ) 5 on propose de déterminer le lieu des points m , m',..., tels que les arcs de cjcloïdes, Am, Am',... soient parcourus dans le même temps par un point matériel pesant , parti de Asan s vitesse initiale, et assufcttià décrire successivement ces diverses courbes.

Ce lieu géométrique a reçu le nom de courbe synchrone .

Désignons par y/ — le temps nécessaire pour parcourir

les arcs de cycloïdes Am, Am',... ; h sera l’espace vertical que décrirait dans le même temps un mobile en chute libre; prenons sur la verticale Ay' une longueur AB = h,B sera le point de la courbe synchrone correspondant à une cycloïde dontle cercle générateur serait iniini. Soient OS = a le rayon du cercle générateur de la cycloïde Arn,x etjyles coordonnées du point m, rapportées aux axes Ax et Ay ; on aura

X = a, arc cos — y — y' ,

! ïh la a — r

i / = t / - arc cos ;

ou réduisant,

^2) X ■= y 7.ah — lay — y'' •

L’élimination de a entre ces deux équations fournira l’équation du lieu cherché.

On peut le construire par points de la manière suivante: si l’on mène du point ni au cercle ItiS, l’horizontale m«, on a

arc \ n ~ a. arc cos ■>

et, en vertu de l’équation (i) ,

arc I n = 2 a/< = y/ IS . AB .

Ainsi, en prenant un arc In, dont la longueur soit moyenne proportionnelle entre AB et IS; puis, menant par le point n une horizontale, le point m où cette droite coupera la cycloide AntS, appartiendra au lieu cherché. En faisant varier le diamètre IS , on construira autant de points que l’on voudra.

Sans éliminer a entre les équations (i) et (2), nous allons démontrer la principale propriété de la courbe synchrone •, c’est quelle coupe à angle droit toutes les cycloïdes,

Dillérentions l’équation (2) en y regardant a comme une fonction de jy déterminée par l’équation (1); il vient

^ y \ flu

dy yj •i.ay — y' \V y/ ^ay — y^jdy'