IL
VV 9.ay — y' ) dy lay — y» .
lay—y' et l’équation (1) donne
Elinunant— » on a dy
d’où
^ ~ dy ^ 7 . ay
dx V 2 a — V
EXEnCICES l)E MétANIQUE. 3o5
I ci ('St le eoeHieienl angulaire de la tangente à la synchrone.
Or l’ikjiialion diirérentielle de la cveloïde rorrespondante au même rayon n , est
ffr j ïa — y
dx~\ Y
L(ï produit de ees deux coefficients diffiérenticls est <?gal à — I , ce qui démontre la proposition énoncée.
2. Parmi toutes les cycloïdes qui ont une meme origine A, et leurs bases sur une meme horizon talc J déterminer celle qu’un corps pesant , parti de A sans vitesse, initiale, doit suiere. pour-atteindre, dans le moindre temps possible, une ligne donnécBC , droite ou courbe (fig. 74 )-
II est aisé de reconnaître que la cycloïde cherchée doit couper à angle drciitla ligne 15C. En ellet, sMl en était autrement, et qu’elle eût la position de la cycloïde Am' (pii coupc B(i sous un angle aigu Tm'm, la synchrone qui passe par le point m' , et qui coupe à angle droit la cycloïde Am' , étant prolongée au dehà de m' , passerait dans l’angle obtus mw'T', et conséquemment elle irait couper la cycloïdc Am, orthogonale à IIC , en un point 1 situé au delà de m par rapport à l’origine; l’arc Am moindre cjue AT serait parcouru dans un temps moindre (jue ce dernier, et par suite, dans un temps moindre que Am', ce qui est contre l'hypothèse.
Au reste, cette proposition n’c.'st qu’un cas particulier de ce théorème connu ; la brachisloclironc coupe à angle droit la courbe d’arrivée.
Supposons (pic la ligne BC soit droite; wB étant normale à la cycloïde cherchée Am, B sera Je point de contact du cercle générateur dans la position correspondante au point m , eu sorte (pie l’on aura
AB==arcB«/. ,
Donc, si l'on décrit un cercle auxiliaire BjU7 qui loiiclie en B la droite AB, la proportion
arcB(i ; AB ;; Bit ; BS
fera connaitre le diamètre BS du cercle générateur de la evcloïdc cherchée. '
Dans le cas particulier où la droite BC sera verticale , le point m où elle sera rencontrée par la cycloïdc sera le sommet de celle-ci , et la circonférence du cercle générateur sera double de A B.
yi nnlrlifjiiemcnt ^ si l’on désigne par m le coclficicnt angvilaire de la droite BC , et par d la longueur AB, on aura , pour déterminer la cycloïde et le point d’incidence m , les deux équations
Quand rn — zc, ona 2«, et, par suite, d = rn. l.e point r/t est alors au sommet S de la cycloïde.
(Cette question avait été proposée par Jacques Bernoulli à son frère Jean, avec promesse d’un prix de cinquante écus : yietes de Leipsig, 1697.)
d. La question précédente est comprise comme cas particulier dans une proposition qui sera énoncée plus bas, après que nous aurons généralisé la notion des courbes hrachistochroncs .
Nous considérerons un point matériel assujetti .à se mouvoir sur une surface donnée dont l’équation est
et sollicité par une force dont les composantes satisl'out à la condition
X</,r + Y f/> + Zrfz rf.iy (.r, y, z).
EXERCICES DE MÉCANIQUE. 3oy
La bracliislochrone est la courbe que ce mobile doit suivre pour aller d’un point de la surface à un autre dans un temps plus court qu’en suivant toute autre courbe voisine située sur cette surface.
La méthode des variations , appliquée comme on l’a fait dans la question précédente, fournira pour les équations de la brachislocbrone,
dx
, 1 dx
ds
di
dx
V ds ds
dx
dV
F(x, J, s) = o; y désigne la vitesse du mobile , et l’on a f’ = 2Ç (x, X, z) + C.
Cela posé, voici la proposition de Bernoulli généralisée ; si l’on suppose une série de bracbistochrones issues d’un même point A et situées sur une surface donnée, le lieu des points M, M' tels, que les arcs AM, AM' soient parcourus dans le même temps par un mobile animé d’une même vitesse initiale, est une courbe qui coupe à angle droit chaque bracbistochrone.
(Le lecteur pourra consulter, pour la démonstration de ce théorème et des suivants, une Thèse de M. Roger insérée dans le tome XIII du Journal de Mathémaliques de M. Liouville.)
i. Nous terminerons ce chapitre eu énonçant quelques autres propositions faciles à démontrer sur les brachistochroncs.
i". Soient Xo, Jai ^0 les coordonnéesdu point de départ du mobile où la vitesse o sera supposée nulle; on aura, pour un point quelconque x , y, z,
c-’= 2[y{x,jr, z) — ç(x,,^„, 3,)].
3o8 TROISIÈME PARTIE.
Cela posé, 1? brachistoclirone coupera à angle droil, au point de départ, la courbe d’intersection des deux surfaces
( P = O, ou ç (x, y, a) = const.
La surface [ç (a;, y, z) — const.] pour tous les points de laquelle e a la même valeur, est dite surface de nweau. Par chaque point de la surface [F z) = o] , il passe une
surface de niveau , et l’intersection des deux surfaces est dite courbe de niveau; la proposition précédente peut donc s’énoncer ainsi :
^u point de dépatt, et plus généralement aux points de la trajectoire où la vitesse du mobile se trouvera nulle, la brachistoclirone, coupera à angle droit la courbe de niveau correspondante .
2 ”. Si la surface [F [x, j', z) = o] se confond avec une surface de niveau [® z) = const.], la bracliistochrone
se réduira à la ligne la plus courte qu’on puisse tracer sur la surface du point de départ au point d’arrivée, dite ligne géodésique.
3”. La surface [F z) = o] restant quelconque, si
le mobile lancé avec une vitesse initiale n’est soumis à l’action d’aucune force, la bracliistochrone se réduira encore à la ligne géodésique.
EXEIICICËS DE MÉCANIQUE.
