CHAPITRE VII

fiUll LE AIOUVKMENT u’i.N POINT .MATÉRIEL PESANT ASSUJETTI A DÉCRIRE UNE COURBE DONNÉE DANS UN MILIEU RÉSISTANT. DIVERS CAS DE TAUTOCHRONISME.

I . Ij a point materiel pesant se meut dans un milieu dont la résistance K est supposée proportionnelle au carré de la vitesse v,

ce point est en outre assujetti à décrire dans un plan vertical la courbe définie par l’étpintion

ax = e"' — ns — i

(dans laquelle s désigne l’arc compté à partir du point le plus bas, X l’abscisse de l’exlréinité de cet are rapportée à un axe vertical et dirigé en sens inverse de la pesanteur, a un paramètre constant).

On propose de déterminer les lois du mouvement.

Soit A le point le plus bas de la courbe {fig. 75), et supposons que le mobile descende de B vers A ; la force tangenliell e au point m ayant pour expression

dx ds-

^di~"ir‘

l’équation du mouvement est d\s

dô

On tire de l’équalioii (i)

^Ts

ds^

dt^

dx K i)

ds n

3io

val^r qu’il faut substituer dans l’équation précédente; il vient

Pour intégrer, on change de variable indépendante en posant

ds d'‘s udu

— =u, d ou ——=——5 dt do ds

et l’on est conduit à une équation linéaire du premier ordre dont l’intégrale est

Nous supposerons , pour déterminer la constante c , que le mobile part du point B sans vitesse initiale. Soit a. la longueur de l’arc AB ; on aura , pour s —

u = o, d’oü —

et substituant cette valeur, il vient

a* ou ^ = — +

= £ c'*"’ - iV — fe-"’’ — i)=l.

Cette équation donnera la vitesse du mobile en chaque point do la trajectoire, quand on connaîtra la valeur de l’arc s en ce point.

On obtient ensuite t en fonction de s par une quadrature ; à cet ell’et, on tire de l’équation précédente la valeur de (il. Si l’on pose

l'AEIUMCES l)E MÉtAKlOl E.

et rciiiplaçanl z , par leurs valeurs , on a

Pour avoir le temps T que met le mobile à tleseendre d<! lî en A , il faut faire dans l’une ou l’autre des deux dernières formules , s = o , d’où

Cette valeur est indépendante de à. Ainsi , quelle que soit la hauteur du point de départ, le mobile arrivera toujours dans le même temps au point le plus bas de sa trajectoire. La eourbe que représente rétjuatiou (i) <!sl done. tautoclironc , pour le milieu résistant dont il s’agit.

Actuellement, de l’équation (2) on tire aisément la vitesse ^ fonction du temps; il vient

Mous ne nous arrêterons pas à la discussion de la formule précédente, non plus ([u’à l’exanien du cas où la valeur de a est supposée assez petite pour qu’on puisse négliger son carré.

2. La niénui trajectoire étant donnée, proposons-nous de déterminer les lois du mouvement , en supposant que la résistance du milieu soit en partie proportionnelle à la première puissance de la vitesse , et en partie proportionnelle à son car/'é.

Soit done

Bien que la loi de la résistance soit changée , il est remarquable, ainsi cpi’on va le voir, que V introduction du terme mv dans F expression de. R, >é altère pas le tautochronisme.

T/équation du mouvement est

(tr

ds-

■ — <r ni — n — — = o ,

f/.v dt dt ’

/ ds\ . dx n(e“ — I

{s' = T ): Cl, SI I on remplace -, par — ^

\ dt J ' ds a

d~‘ ,ï ne , , ds ds'

dt'' a ' ' dt dt^

i OU a

Le simple chaugemeul de vaiâable, employé dans le problème précédent, ne suilirait plus ici poui’ intégrer l'équation.

Posons, a\ec Euler,

de ^ '

d’oil

,hS I VI

U du

substituant ces valeurs dans ré(|ualion diirércnticllc , et supprimant le facteur comuinn e‘" — i, on trouve

H du « '■

! r'“ — 11-, -1 r niu mû — o :

ds n

KXEV.CICES DE MÉCAMQUE. 1 3

les variables se séparent iiiiiuéilialeineiU. Posons, pour 1 . "i)'

abretrer, — = / ; nous aurons

(Is ’ U du

Or,

i + ma -}- ntd t~ ds

udu ' w,

= — I (X -f- mu -f- im