X -f- mu -f- ««’ a
du
■ mu 4- nid
du
— s’exprimera parla méthode or-
I^’intéerale . .
' ‘ mu 4- nid
dinaire, au moyen d’un arc tangente ou d’un logarithme , selon que les racines de l’équation X4-m«4- =o seront imaginaires ou réelles.
On a d’ailleurs
ds
tlone
dt z=
dt =
i. 4- mu 4- nid
.Ainsi , le temps nécessaire au mobile pour décrire un arc tic
.sa traiecioire dépend de l;i lucine intégrale / ;
■’ ‘ J X 4- mu 4- nid
Au point de départ,
s — -J. et — = O, <1 ou h = O.
dt
.\u point le plus bas , '
Soit donc T le temps que met le mobile à dt-scendre de 15 en A; on aura
— du
X + mu 4- nid
rnOlSlÈME PARTIE.
Cf temps est éviiloinuuTU imlépeuduiilde a. : ainsi , la coui hc est encore tautochrone.
En intégrant par arc langcnlo, ce qui suppose 4 ^ O ,
on trouve
/ m TT \
= I arc tang — i .
L’éfjuation (i) ne renfermant pas le coellicienl m, il en résulte que la courbe tautochrone restera la même, quelle que soit la partie de la résistance du milieu proportionnelle à la première puissance de la vitesse. Mais le lemjts de la descente est modifié par ce coefficient. |
3. Cette propriété du tautochronisme a été établie, d'une manière générale, par Lagrange ('*').
Cet illustre géomètre a donné, pour expression générale de la force tangenlielle F sur une courbe tautocbronc ,
e désigne la vitesse du mobile , ^ une fonction quelconque
de l’arc s, et cr une fonction quelconque du rapport
En disposant convenablement des deux fonctions arbitraires ^ cl CT, on peut vérifier que cette formule reproduit bien la. composante tangcntielle de la force qui sollicite le mobile dans le problème précédent.
En (îflèt, prenons
et
I*) Mornoire» lie rAcaïU'inir ctü fii'ilin , iiiwivcs ijG i.ei i""
EXEUCICES I>K MCCAMOUE.
il vient
F = X — i) — «11’ — nt>’.
mv — «f ,
i. Eniiii, supposons la résistance du milieu compli- (juée d’un troisième tenue constant k, on sorte que son expression devienne
R = X' -+- iiiv m>\
et qu'en même temps on modifie l’équation de la trajectoire en y introduisant un terme dépendant de A, savoir,
ax — e'" — «Il
celle nouvelle courbe sera encore tautochrone. En eflet, on voit de suite, par rekpression de
dx
ds
que les termes où entre k disparaissent d’eux-mèmes île l’équation dillérentielle du mouvement, et l'on a, comme dans le cas précédent ,
dp
ds ' dt
ds‘‘
dp
Ainsi, les mêmes calculs sont applicables, et les conséquenees relatives au tautochronisme subsistent; seulement, il faut remarquer que la tangente au point A n’est plus horizontale; car
dx h
Pour r = o, on a
ds g
Cette valeur du cosinus de l’angle que fait la tangente en A avec la verticale exige que la conslanle A soit plus |)ctite
TROISlr.ME l’AllTlE.
que g. Celle eotidiliuii est, en ellet, toujours remplie dans la nalure par la résistance des milieux , Jaquel le esl une force beaucoup plus petite que la pesanteur.
La valeur du temps T nécessaire au mobile pour aller de 11 en A sera encore donnée par la formule
‘ — du
\ + niu nid
elle ne dépend pas de la constante k: ainsi le temps ne sera allécté que par les parties de la résistance du milieu (pii sont proportionnelles à la première et à la seconde puissance de e. Ces particularités ont été signalées pour la première fois par Euler
EXERCICES nr. MÉCANlQliE.
