CHAPITRE PRE3IIER

MODVEMEfiT I1F DEl X MASSES ATTACIIÉE;S AUX EXTBIvMITÉS n’uXE VEBGE IIVFLEXIBI.E QUI PEUT GLISSER ET TOURNER DANS UN PLAN.

Deux point.'! de ma.s.'ie.'! m, ni' .sont attachés aii.r extrémités d’une droite sans masse AA' (fig. ’jG) t/ui peut glisser sur un plan horizontal à travers un anneau, mobile luimerne autour de .son centre qui e.sf fixé, sur le plan. On proposé de déterminer le mouvement du .système.

La verge élaiit en repos dans la position AA', et les points m et m ' étant à des distances données de l'anneau ü, on met la verge en mouvement en imprimant à la masse m, située en A, une percussion horizontale perpendiculaire à AA'.

Soient O A = ;’o , OA' = / ' , O/u = r, O m' = / la lon-

gueur de la verge; on a

Le problème sera résolu quand on connaîtra les valeurs du rayon vecteur r et de l'angle mOA = 0 en fonction du temps.

Soient (x, y), (a:', j') les coordonnées rectangulaires de m et m' rapportées aux axes OAx, f) y ; e, v' les vitesses de ces deux points an bout du temps t.

Le principe des forces vives et celui des aires fournissent immédiatement deux intégrales premières di-s équations du

inouveniciu

TnOtSIEME VARTIE.

wi>’ //iV'- =r A ,

m {xdy — ydx) -t- /«' [x'dy' — y'dx') = Brf/,

A et B étant des constantes arbitraires.

Il convient d’y introduire les coordonnées polaires; on a

, dr'-y-r>d^' „ dr^-^r'^d^-^ ,,,

.= — , {dr=-dr),

xdy — ydx—r'dfi, x'dy' — y'dx'~r'^d^.

Ces valeurs, substituées dans les équations précédentes, donnent

[m 4- rn')

dr>

■ {mr' -

dt

dt'

'dt

Déterminons les constantes A et B :

Si la vitesse initiale eo de la masse m est donnée immé-

diatement , on en conclj^t la vitesse de /«', i'I = .^»et, par suite,

\dt/„ \dt /„ r,

A = ^ (/nrj -f- m'r; ’), B = ^ {mr] + „/ r[ ’).

La détermination des constantes n’est plus aussi simple si , au lieu de donner la vitesse initiale eo , on fait connaître seulement la percussion P imprimée perpendiculairement à la tige.

Le principe de d’Alembert appliqué aux percussions fournit alors l’équation

dans laquelle on doit remplacer dx, dy, dx\ dy\ âx, à y,

ax', (?V par leurs valeurs on r et 0 tirées des relations

1 ,r = /-cosO, ( .r' = — r'cosO,

1 r = rsiii 0, I 4 — — r sin 0,

RXERCIf.ES HE MÉCA.MQIJE. I 9

puis OU égaliM'a à zôro les coofïiricnls <l<‘s varialious itulepcndantcs âr, dO. ün troiivora ainsi

El , par suiti!,

fiir] + m r.

B= Pr„,

Ac’luclIemeiU , si l’on élimine ^ outre K» équations (i) et (a) et (ju’on remplaee A et 11 par leurs valeurs, il vient

(3) V /" =Pr„ 4 / — - — — 7 --, — —

Cette équation fait connaître le mouvement de glissement de la verge à travers l’anneau. On a ensuite, pour déterminer la rotation autour du centre O, l'équation (a) ou

lit mr'-i-m'r''

En divisant ces deux équations l’une par l'autre, on élimine dt et l’on a l’équation diirérenticllc de la trajectoire du point m. Comme la variable G n’y entre que par sa dilYérentielle, le problème est ramené aux quadratures. 11 est à remarquer que l’équation de la trajectoire ne dépendra pas de la percussion, puisque le facteur P disparait de luinième.

On simplifiera les formules précédentes par la considération du centre de gravité du système. Soient R la distance de ce centre à l’origine au bout, du temps t , Ro sa distance initiale , M la somme des masses m m', MK’ le moment d’inertie du système par rapport à un axe perpendiculaire à la verge et passant par le centre de gravité; on a

wr’ /»' r'’ = M ( IC + K’; ; d’aiileiiis

TIIOISIF.MK l'AIlTlE.

Les équations (3) et (4) se transforment dans les sui-

vantes :

r/0 = VR; + K-

Cette dernière est l’éqnatiou différentielle de la trajectoire décrite par le centre de gravite.

Pour que -^soit réel, il faut que R surpasse R»; ainsi,

à partir de l’instant où le mouvement commence, R va en croissant, et la verge glisse dans l’aTineau du côté où se trouve déjà le centre de gravité. Celui-ci s’éloigne de plus

en plus de l’origine, car ^ ne saurait s’annuler pour une

valeur de R supérieure à Ro; en même temps, la vitesse de

rotation décroit de plus en plus, car diminue quand R

augmente.

Les différentielles (5) et (6) ne sont pas intégrables; on les transforme aisément en fonctions elliptiques de première et de troisième espèctî, en posant

il Vient

' ' P /•„ V 1 — c’ sin’ (p ( I — sin’ y) 1 — c' sin’ o J

On pourra ainsi calculer les valeurs numériques de 6 et de t correspondantes .à des valeurs données de R, au moj'en des Tables de Legendre.

.Si, h 1 origine du mouvement, le centre de gravité du svsième coïncidait avec le point fixe U, on aurait l«o= o.

KXERCICE.S DE MÉCVMQLE.

l'i l'équatioii (()) deviendrait

Rf/R

dH-.

dont rintéffiale est

c désignant la constante arbitraire.

Mais pour 0 = o, on doit avoir H = o ; donc c = oo , et , par suite, on aura constamiucnt

Ainsi, dans ce cas, le centre de gravité du système demeure Immobile^ la tige ne glisse pas dans l’anneau, et chacune des masses nt, m' décrit un cercle. Ce mouvement circulaire est d’ailleurs uniforme, car — a une valeur

’ dt

constante r —

MK'

On pouvait prévoir ces derniers résultats : en cllet, la (i /*

valeur initiale *^*^®°*^ nulle, il est évident que., dans

le premier instant dt^ la tige va tourner sans glisser autour du centre O 5 les deux points m, m! commencent donc à décrire deux arcs de cercle; mais les forces centrifuges qui résultent de ces mouvements (mrw*, m'r' w*) sont égales, puisque , le centre de gravité étant à l’origine , on a mr= m' r' et comme ces forces agissent en sens contraire dans la direction de la tige, elles se détruisent. Doue, pendant l’instant suivant le mouvement continuera sur les mêmes cercles et avec la môme vitesse angulaire.

Il n’en est plus ainsi quand le centre de gravité est à droite ou à gauche de l’origine; la tige glisse en môme temps qu'elle tourne , du côté où mr e.st le plus grand , c’est-à-dire du ( ôté de l’anneau où sc trouve déjà le centre de gravité.

TIVOISIKME VAr.TIE.