SLR LE CHOC DE DEUX CORPS SPHÉRIQUES
t . Ijnc sfj/ière S, parfaitement élastique et homogène , est posée sur un plan horizontal, à une distance donnée Al) d’un plan vertical inébranlable MN également doué d’une élasticité parfaite (fig. yy). Cette sphère, en repos, est choquée par une autre sphère S', dont le centre est animé d’une vitesse V dans le sens AB, et , après s’étre réfléchie contre le plan MN , elle vient de nouveau\encontrc.r la sphère S' en un point déterminé O de la droite AB. On propose d’assigner la relation qui existe entre les rayons des deux sphères et les distances AB, OB.
Soieii t Tl le rayon de la sphère S , R' celui de S' ; AB = « , OB = ^. liCs masses des deux sphères peuvent être représentées par les cubes de leurs rayons; et il résulte de la théorie du choc des corps sphériques élastiques , que les \itesses des deux sphères S , S , après la première rencontre, srroni respectivement
Pour qu’elles soient de même sens, le rayon R' devra surpasser B.
Ensuite la sphère Sia parcourir l’espace AB -f- OB — DA ou a b — 2 B , pendant (jiie S' parcourra resjiaec DO ou a — h -t- 9. B ; on aura don<' la proportion
Il — è t ■ 9. R : Il
dOii
F.XIÎUCK.KS PE MÉtVMXHE.
Celle rchtliiui est indépvndatiU; de. la r'defso \ . Pour la siiiiplifiur, posons
b — 2 R = rt' ;
a! désigne la distance A' lî analogue à A 15 , et l'on a ( I ) ( R'’ +■ R^ ) a 3 R'^ — R ‘ ) a’.
Trois des fjuatre quantités a , n', U ,t 11', étant données , on pourra déterminer la quatrième.
Soient donnés « , H , on tire R'"-)-R>
" “ Fr'^ — R> "■
A mesure (|ue 11' augmente, a' diminue , et pour P' = ao ,
on aurait a' = Ainsi, après la seconde rencontre, le
point A de la sphère choquée (diamétralement opjiosé ;'f celui où le choc a lieu) est toujours distant du plan de réllexion MIN, d’une quantité plus grande que le tiers di; sa distance primitive à ce plan, et il se rapproche indéfiniment de cette limite, si l’on suppose que le rayon d<- la sphère choquante aille en croissant jnsipi’à l'inlini.
On trouve pour les vitesses respectives des sphèrt^s S'. S, après le second choc,
(R'/ — R>)’— aR'R''^, 4R'’(R'‘-- R") ..
pour <|ue la première soit positive, c’est-à-ilire pour ipie la sphère choquante continue à se mouvoir dans le sens AU, il faut que l’on ait
R'>R^aH-\/j,
et , dans ce cas, on calculera aisément, comme ci-dessus, la positifin <lu point où aura lieti le troisième choc, et ainsi de suite.
y. Doux <fjldrrs ôhntiojuo^ ot honioi;<‘nrs S , S' ( fig. 78)
THOlSIliME l’AnriF..
ont leurs centres sur une meme verticale -, on les laisse tomber en meme temps , sans leur imprimer de vitesses , en sorte que la sphère inférieure S', atteignant lu première un plan horizontal fixe MN également doué d’ une élasticité parfaite, est réfléchie vers la sphère supérieure et la choque en un certain point O ; puis , les deux sphères continuant à se mouvoir, une seconde réflexion de S' a lieu sur le plan, suivie d’un second choc des deux sphères en un point O', etc.
On propose d 'assigner les relations qui existent entre les rayons des sphères, leurs distances initiales au plan M.\, et les distances des points on elles se choquent à ce plan-, les vitesses des deux corps après le choc, etc.
Pour simplifier les formules, nouç rapporterons les distances, non au plan MN, mais à un plan parallèle M'N', distant du premier d’une quantité DC égale au diamètre de la sptcrc S'. Soient donc OD = x , AD = a. A' D = a'.
La sphère S descend de A en O dans le temps y' -(a — x). La sphère S' parcourt d’ahord rospaec A'D dans le temps
-a'; puis elle remonte de D en O dans un temps égal à
la différence entre les temps qu’elle mettrait à tomber de
A' en D et de A' en O , c’est-à-dire y/2 a' — ^ ^ 1
Le temps total nécessaire à la sphère S' pour accouqdir son mouvement est donc
Par suite, on aura l’équation
d’où
fa — X = 2 fa' — \ja' — x ; (a — a' ) ( g a'i — a )
EXKIlClr.ES DE MÉCANIQUE. 3a5
valeur laeile à eoiislruire par (jualrième proportioiuioUn. Dii peut encore écrire
hlQa’ — b)
iti a
en désignant par b la ilislance initiale AA' des deux splières. Deux des trois quantités a (ou /.»), a' et x étant données, on saura trouver la troisième. Par exemple, si l’on demandait la longueur d’un fil AA' à l’aide duquel la sphère S' serait suspendue au-tlessous de S, de sorte que ce fil étant rompu , le choc des deux sphères après réflexion eût lieu en un point donné O, on tirerait de l’équation préeédente , ou mieux de l’équation ( 2) , après une élévation au carré ,
AA' ou rt — «' = 4[rt'— x)] = 4(A'D — A'H)=4.DK..
Le calcul des vitesses des deux sjihères , avant et après le choc, u’ollre aucune difficulté; nous ne nous y arrêterons pas.
3 . Une sphère élastûpie S ( fig. 79) est tombée d'une certaine hauteur sur un plan horizontal élastique et inébranlable ÛIJV, et, au moment où elle se tvfléchit verticalement de A vers z , une autre sphère S' commence à tomber dans la même verticale , à partir d'un point donné lî, et les deux sphères se choquent en un point O , dans des conditions telles, qu après le choc elles reprennent des vitesses respectivement égales, mais de sens contraire à celles qu elles avaient avant le choc , et que la sphère S' remonte à son point de dépait B dans un temps précisément égal à celui que la sphère S emploie à atteindre de nouveau le plan. Les deux sphères parvenues en A et B se retrouvent ainsidans tes memes circonstances qu'au commencement, et par suite elles reviennent de nouveau se choquer en O , et ainsi de suite indéfiniment. On.propose d’assigner les relations qui existent, par suite des conditions du problème , entre les rayons des deux sphères , la hauteur initiale de
cJiiiU; (le la sphère S, la hauteur de chute de la sphère S' et la hauteur du point de rencontre.
Soient R, R' les rayons des sphères S, S'; prenons AC = 2 R', et rapportons les distances au plan M'CiV' parallèle à MA’ ; soient lîC = a , OC = h.
La sphère S', parvenue en O, aura, avant le choc, une
vitesse ,
la sphère S, ayant remonté de C en O , aura , avant le choc , une vitesse négative
y désignant la hauteur initiale de chute de cette sphère . c’est-à-dire la hauteur à laquelle elle s’élèverait jusqu à ce cjue sa vitesse fût réduite à zéro , si la sphère S' ne s’y opjx)salt pas.
Après le choc, les deux sphères doivent, pour satisfaire à l’énoncé, posséder des vitesses respectivement égales à celles qu’elles avalent auparavant, mais dirigées en sens contraire. Or, la théorie du choc de deux corps élastiques dont les masses sont m, m', et les vitesscs\ , \ , donne, poulies vitesses après le choc ,
a(wV -H m'V') a(wV -t- m‘\' ) m ,-h ni' ’ ni -I- in
pour que ces vitesses se réduisent respectivement à — \,
V', il faut que les quantités de mouvement m\, w' V '
soiimt égales et contraires. Par conséquent, on aura, en observant que les masses sont entre elles comme les cubes des rayons , ■ • ,
sJ y — b — R'“ V« — *•
De ])lus, le temps que met la sphère S' pour descendre de I» en O étant i /- {a — b), cl le temps (|u’emploie S pour re-
r.xEncicES de mécanique.
monter
de C en O étant — (j “
on aura
\Ja — bz=z\Jy — ’Jy — h.
Ces deux équations feront connaître j et en lonction /R'\’
de rt, R, H'. Soit (—!=«; la première donne
y — h = n}{a — h), et, substituant dans la seconde, on a
\Ja — b = \j b -f- n' [a — b)~ n\j a — /> ,
d’où
-f- ln)
enfin
11 ne faut pas oublier cjue tous ces résultats supposent une élasticité parfaüc , «[ui n’a pas lien rigoureusement dans la nature
TROISIEME RARTIE.
