CHAPITRE m

INTÉGRATION D*UN SYSTÈME d'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

DU PREMIER ORDRE, d' APRÈS M. JACOBI. APPLICATION

Aux ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT d'uN POINT MATÉRIEL.

1 . On propose d'intégrer un système d'équations différentielles du premier ordre, de la forme suivante :

^^^ dë~~dP' 'dt'~ d^' dt^dy' dt~~ ûTr'"*'

V étant une fonction connue des variables x, x\y^y\ qui ne renferme pas la variable t explicitement. Il suffira, pour l'exposition de la méthode, de considérer le cas de quatre équations différentielles. x

On sait que les intégrales renfermeront quatre constantes arbitraires a, jS, a\ jS'-, en sorte que, si on les suppose résolues par rapport aux constantes, elles prendront la forme

De plus, chacune des fonctions (p, i|/,... satisfait identiquement à l'équation aux différences partielles,

d(^ d(f d\ dff dY d(f dV d<f ^V __ iU dx dx* dx' dx dy dy dy' dy

Et réciproquement, si une fonction (^{t^ x^ x\ y^y')^ dans laquelle t^x^ x' ^y^y' sont considérées comme des lettres indépendantes , est telle ,* qu'elle satisfasse identiquement à l'équation (2), on aura une intégrale des équa-

tions ^i), en posant (p(f, x, oc'^ y^y') = cc^ oà ce désigne une constante arbitraire, et jc, a:', y, /'des fonctions de la variable indépendante f , qui satisfont aux mêmes équations différentielles.

Cela posé , si l'on prend pour (f la fonction V, il est visible que l'équation ( a ) sera identiquement satisfaite ; car V

ne contenant pas f , le terme — est nul , et il reste Tidentité

dY dV d\ dY dYdV dV dV dx dx' da/ dx dy dy' dy dy

Donc V = a est une intégrale première des équations (i)^ et cela , quelle que soit la fonction V, pourvu que t n'y entre pas.

Supposons maintenant que le problème , qui a conduit à des équations différentielles de la forme (i), soit de telle nature , qu'on sache trouver une seconde intégrale

la fonction F ne contenant pas la variable t.

C'est ce qui a lieu , par exemple , dans la dynamique , lorsqu'on étudie le mouvement d^un point attiré vers un centre fixe^ : le principe des aires fournit cette seconde intégrale. Nous développerons plus loin cette application.

Le théorème de M. Jacobi consiste en ce que , la seconde intégrale une fois connue j on pourra toujours déterminer^ à l'aide d'une simple quadrature , les deux autres intégrales qui complètent la résolution du problème.

En effet , concevons qu'on ait tiré des deux intégrales V = a , F = iS, les valeurs de x' Gly' en fonction de a:, j^, a et j3 , et qu'on les ait substituées dans la première et la

<iV d\ troisième équation du système (i)-, les fonctioift —,'> —,

ne contiendront plus , après cette substitution ^que les va-

forme, par (gj, (^>.

riables x et j^, et nous les désignerons, sous cette nouvelle

La question sera ainsi ramenée 'à intégrer le système des équations

et tout se réduit à trouver deux fonctions II det, x et j^, qui satisfassent à Féquation aux différences partielles

dn dn/dy\ dn/d\\ (^) -di^-d^\d^')^-d^\dy) = '''

A cet eifet, nous allons démontrer que x' et j^', étant

considérées comme des fonctions de x^y^ a , jS, déduites des

deux premières intégrales, x'dx^y'dy est la diiïéren-

tielle exacte d'une fonction de a:, j-, a et j3. Il suffit, pour

dx' dy cela , de prouver que ^ = ^ —

Or, si Ton différentie, par rapport à o:, les équations y = oi^ F==j3, en y regardant o:', y' comme fonctions des variables indépendantes x et /, il viendra

d\ dy dx' dy dy

dx ' dx' dx

'^ dy dx '-''^

dF dF dx' dx dx' jdx

dF dy

dy dx

-i,,. . dsd

Eliminant -p- ? on en tire dx

dF dy dF^dy dy dx dx' dx' dx d^^ dF dy dF dy

dx' dy dy dx' En changeant x enj^ x' eny' et vice versa, ou a

dF dy __dF dy dx' dy dy dy djr 17^ dF dy dF d\'

dy d^'^^d^' dy'

Les dénominateurs sont égaux et de signes contraires : il reste à faire voir que la somme des numérateurs est nulle, ou que

dY dW dY d\ dF dV ^d¥ dV . dx da/ dx' dx dy dy* dy' dy

Effectivement, cette équation exprime que la fonction F satisfait à l'équation ( 2 ) , et c'est ce qui a lieu , puisque F =. j3 est une intégrale des équations ( 1 ) .

On peut donc poser

dx dy

et la fonction sera connue par l'intégration directe de la différentielle x'dx -hy'dj^ réduite aux deux variables x et 7.

Maintenant je dis que deux valeurs de la fonction II , propres à satisfaire à l'équation (4) j sont

-rr et -ï ^'

d^ doL

En effet , puisque l'équation V — a = o deviendrait 'identique par la substitution des valeurs de x' et y' en fonction de x, j^, a, /3, on pourrait, après la substitution, égaler à zéro sa différentielle par rapport à |3 , a étant considérée comme constante 5 ou , ce qui revient au même , on peut diÔerentier d'abord l'équation, par rapport à (3 , en y regardant x' et y' comme des fonctions implicites de jS , et ne substituer leurs valeurs qu'après la différentiation. On a ainsi

\dx') d^ ^ \dy) d^

Remplaçons dans cette identité x' par — ? y' par —9 et intervertissons l'ordre des différentiations: nous aurons en-

core identiquement

Xdx'j

cl , —— ^ d, •

dx \ dy ) dy

donc -jT- satisfait à Féquation (4), puisque d'ailleurs cette

P fonction ne contient pas 1 5 par suite ,

(j3' désignant une constante arbitraire) , sera une troisième intégrale des équations (i).

En différentiant l'équation V — a = o par rapport à a, on trouvera de même l'identité

, de , de

dy\ ' doL /d\\ ' doL

dx'l dx '^\dy) dy ~~^'

Ce qui prouve que la fonction — 1 satisfait à Féquation (4); donc la quatrième intégrale sera

aa.

A la rigueur, on aurait pu s'arrêter à la troisième intégrale — - = j3', et regarder le problème d'intégration des P

équations (i) comme résolu, puisqu'il était réduit aux quadratures : en effet , les trois premières intégrales fournissant les valeurs des trois variables x\ y' ^ y en fonction de x 5 si l'on substituait ces valeurs dans Féquation

dx dy dt dx* '

on aurait

d'où

Mais ce calcul est moins simple que le prétédeni , parce qu'il exige une quadrature de plus.

Nota. Les équations V == a , F = jS , ne cesseraient pas d'être les intégrales des équations (i), si Ton introduisait dans celles-ci un facteur X fonction de t et de V, en sorte que les équations devinssent

^.dv dx' __^^ ciy ^y ^.d^ , ^r' ^v^

dt dx' ' dt dx^ dt û?y" Ht "^ ^ '

car d'abord le facteur X disparaîtra de l'équation (2), quand on y remplacera (f par V ou par F, et cela , quel que soit ce facteur^ fonction de V ou non , puis , si X est fonction de t et de V, il deviendra , en vertu de V = a , une simple fonction de t qu'on pourra faire passer en diviseur avec dt^ dans les équations différentielles; en posant Idt^zdr^ T sera une fonction de t connue par la quadraluve fkdt'^ dx remplacera dt dans les calculs précédents,, et l'on trouvera pour quatrième intégrale

2. Applications, — Nous ferons d'abord , en peu de mots, l'application de cette méthode d'intégration au problème du mouvement d'un point matériel sollicité par une force dirigée vers un centre fixe et fonction de la distance.

Ces équations sont

en prenant le plan de la trajectoire pour plan des xy. le centre fixe pour origine, et désignant par r le rayon vec-

dx dV

dx' d\

dy d\

dt '^ dx''

dt dx'

dt ~ dy '

THÉOBIES GÉNÉRALES. 29

leur du mobile, et par R la fonction de r qui représente la force. Soit

dx dY

^ = x', -^ = r', et V=/Rrfr + i(:c"+/').

Au lieu des deux équations du second ordre, on aura le système équivalent des quatre équations du premier ordre :

dV dy

Ainsi, le problème pourra être résolu par la méthode développée plus haut.

y == a , c'est-à-dire

est une première intégrale. On y reconnaît Y équation des forces vi\^es.

Le principe des aires fournit la deuxième équation

Ces deux intégrales ne sont, relativement au problème de dynamique qui nous occupe, que des équations différentielles du premier ordre , ou , suivant l'expression de M . Hamilton , des intégrales intermédiaires propres seulement à faire connaître les composantes de la vitesse du mobile, lorsque x et j^ seront déterminées en fonction du temps. Pour avoir les deux autres équations qui sont les véritables intégrales en quantités finies du problème, on tirera des deux premières les valeurs de x' et y' en fonction de X, y, a et (3 ; puis on formera la différentielle x' dx-{-y'dj. On trouve ainsi

En posant, pour abréger,

± i y/2(U-f-a)r»— p' = ^^{r), JV.dr = — U,

3o PREMIÈRE PARTIE.

conformément à la théorie , cette différentielle est immédiatement intégrable et donne

= p arc lang - -^ f^ [ '*) dr^

ou bien , en désignant par l'angle du rayon vecteur avec l'axe des a:.

Il ne reste plus qu'à différentier la fonction successivement par rapport à j3 et a [(3 et a entrent dans ^ (r) ] , puis on posera

d^ ^ da

La solution complète du problème est ainsi réduite à ne dépendre que d'une seule quadrature f^ (r) dr.

Au lieu d'intégrer t|; (r) dr^ pour différentier ensuite l'intégrale par rapport à j3 et a , il sera , dans certains cas , préférable de différentier d'abord sous le signe f et de n'intégrer qu'après. Les deux intégrales se présenteront alors sous la forme suivante ,

e-p' = ±pr-— =^===:,

V'-V^2(U-ha)r-^— p»

, . r rdr

Supposons, par exemple, que la force centrale soit en raison inverse du carré de la distance

R=^, d'où U = ^, et l'on aura, par ces formules,

r dr P'— f*''

— 6' -.— Ô 1 . / , r : =: arc cos / ■ =-?

^ ^J rs/'iar' -h^^r^-p^ '' Vf** 4- 2 a p*

THÉORIES GÉNÉRALES. 3l

d'où Ton lire

UL a(i — e^)

r = ^ — ou r = ^ 9

/ 2aB' I H- 6'cos(0— -B')

en posant

2aB' B-' ' '

a ex. e sont des constantes arbitraires qui remplacent a et j3. Cette équation détermine* la trajectoire, section conique dont le centre fixe est un foyer. Enfin, la position du mobile au bout du temps t est connue' par la dernière intégrale

a vient

Si l'on y remplace 2 a par — -9 et j3* par ^kn (1 — e*) , il

[a-ry

Pour simplifier, on pose

etr

on a

/rdr *

mais l'expression de t en r, sous forme finie, n'étant pas d'un usage commode , on préfère introduire la variable u ou V anomalie excentrique, en posant

r= a(i — ccos a),-

<ît rintégrale précédente se réduit à

eii comptant le temps à partir de l'époque où a = o.

Nous ne poursuivi ons pas plus loin la solution bien connue de ce problème.

Revenons à la fonction , dont l'expression , dans le cas d'une force centrale quelconque , a été trouvée

y C dr

=: 8 arc tang — h I — ,

D'après la manière dont celte fonction a été calculée , on a

dx dt

dQ , dy

et — = Y z= —' dy ^ dt

On peut donc remplacer dans l'équation des forces vives

d% dx

, d% , flf0 ^ „ .j . •

X par -j^t y par -7—) et 1 on a identiquement

'^ dy

Ainsi la fonction vérifie identiquement cette équation aux différences partielles du premier ordre.

Réciproquement , si l'on trouve une fonction de a: et j'^, contenant deux constantes arbitraires a , /3, autres que celle qu'on peut y introduire par simple addition , et vérifiant identiquement l'équation (5), les intégrales complètes des équations différentielles

— — ir= — R — ? — ; —

dt"" r dt""

-kI

seront

de ^, d&

a' et |3' étant deux nouvelles constantes arbitraires.

Cette proposition remarquable, qui permet d'exprimer

THÉORIES GÉr^ÉRÀLES. * 33

les intégrales finies du mouvement par les dérivées partielles d'une seule fonction 0, satisfaisant à une équation aux différences partielles du premier ordre, n'a pas seulement lieu dans le cas d'un point sollicité par une force dirigée vers un centre fixe 5 elle s'étend à tout système libre de points matériels , dans lequel la fonction des forces U ne contient pas le temps t explicitement.

L'idée première de ce théorème est due à M. Hamilton [Transactions philosophiques, i834eti835). Mais ce savant avait cru que la fonction devait être assujettie à satisfaire en même temps à deux équations aux différences partielles, tandis qu'u/ze seule équation suffit, ainsi que l'a fait voir M. Jacobi [Journal de Mathématiques AeM., Liouville, 1 838, page 60).

Il ne sera pas inutile de rapporter ici la démonstration de M. Jacobi, en nous bornant, pour simplifier, au cas d'un seul point matériel , ce qui n'altérera en rien le fond de la démonstration.

Continuons à désigner par U la fonction de x, j^ z sans Z, dont les dérivées partielles représentent les composantes de la force accélératrice appliquée au mobile; les équations différentielles du mouvement sont :

et le théorème à démontrer peut s'énoncei* ainsi :

Soit une fonction de x^y^ z contenant trois constantes arbitraires a, j3, y (autres que celle qu'on peut toujours introduire dans cette fonction par simple addition) et vérifiant identiquement V équation aux différences partielles

, . id%y id&y [dey ,,, ,

d'x dV

d^X dl]

df dx '

dO dy '

df dz '

Les équations (6) auront pour intégrales complètes

dei , de ^, d®

a', /3', y' étant trois noui^elles constantes arbitraires^ et les trois intégrales intermédiaires

dx Tt

d% dy d% dz e/Q

dt dy dt dz

feront connaîtra les composantes de la vitesse suii^ant les axes des coordonnées.

Démonstration. — Si nous différentions les équations (8) par rapport à {, les constantes a', j3', y^ disparaissent, et il vient

d^e dy

d'S dx doidjc dt

d^e dx

d^dx dt d^& dx

dady dt

ûf'e dy

d^dy dt d^® dy

d^^e dz dadz. dt "" '

d*® dz ^ d^dz dt ~ ^*

d"^® dz

d'^dx dt d'^dy dt dydz dt

dv dy dz

Ces équations déterminent les valeurs de — > — ? — •

si on les compare aux trois identités qu'on déduit de Féquation (7), en la différentiant partiellement par rapport à a, j3, y, savoir,

dadx dx dcndy dy

d^dx dx dpdy dy d^® d® d^® d®

doL dz dz rf'0 d®

d^dz dz

d^® d® dy dx dx ' dy dy dy ' dy dz dz

dx dv on reconnaît immédiatement que les valeurs de — > — r

— 5 tirées du premier système, sont respectivement les^

mêmes que celles de — 5 ~J"^ 'i~^ tirées du second système.

Donc on a déjà

dx d% dt dx^

dx de

dt'^dy'

dz de dt^ dz

Différentîant de nouveau ces dernières eicpressionç , par rapport à t, il vient

d'^x ^»0 d% d^e de d^B de

dt^ dx^ dx dxdy dy dxdz dz

d'^y d^e de d'^e de . d'^e de

dt^ dxdy dx dy^ dy dydz dz

d^z^d^e de d^e de d'^e de

dt^ dxdz dx dydz dy dz^ dz

Or les seconds membres sont précisément les dérivées partielles de la fonction U, qu'on tirerait de l'équation (7); donc on a

d-'x d\l dy^dV dH ^d\J 'dt^'~dx^ 'dF'^dy'^ 'dF'^'dl'

Les équations (6) sont donc satisfaites par les valeurs de X, j^, ^ , en fonction du temps , tirées des équations (8) ; ce qu'il fallait démontrer.

Nota. Puisque la fonction des forces U ne renferme pas t explicitement, le principe des forces vives a lieu, c'est-àdire que

c étant une constante , ou bien , d'après ce qui précède ,

dx dt

u résulte de là que la constante a de l'équation (7) n'est autre que la constante c qui entre dans l'équation des forces vives.

36 PAEMLÈRE PARTIE.

Nous avons supposé , dans tout ce qui précède , que la fonction des forces U ne renfermait pas le temps ^ si le contraire avait lieu , comme , par exemple , dans le cas d'un point attiré par des centres mobiles , la fonction ne serait plus indépendante du temps, elle serait remplacée par une fonction S, vérifiant identiquement l'équation aux dijQférences partielles

IdSV.fdS

y /dsy ds

\dx / \dy

On démontrerait, par des calculs semblables aux précédents, que les trois intégrales complètes du mouvement seraient

d^'^''' d^-^^' dy-'^'

et Ton aurait toujours les intégrales intermédiaires

dx dS dy dS dz dS dt dx dt df dt dz

Ce cas doit comprendre celui que nous avons traité plus haut ; et 5 en effet , lorsque U est indépendante de f , le principe des forces vives , combiné avec les intégrales intermédiaires , donne

^\dx)'

on en conclut

et si l'on pose

sera une fonction de (x , )^, z , a , /3 , y,) sans f , vérifiant

do:

l'équation (7). La première des intégrales ci-dessus — = «'y

THÉORIES OÉIMÉIULF.S. 3 7

deviendra

fie

les autres seront composées en comme en S. On retrouvera aiim les intégrales (8).

La première partie de ce travail a été rédigée d'après une Leçon de M. Liouville au Collège de France.

Le lecteur, curieux d'approfondir celte importante théorie et de connaître les applications dont elle est susceptible , pourra consulter le Mémoire, déjà cité, de M. Jacobi, et le second Mémoire de M. Liouville, sur quelques cas particuliers où les équations du mouvement d'un point matériel peus^ent s'intégrer (Journal de Mathématiques * page 4105 1847).

PXEHrEKE PARTIE.