Sur la recherche des maxima ou minima de Vinté

grale 1 Vrfx, dans le cas où les deux fonctions incon-

nues y et z que V renforme, sont assujetties à satisfaire à une équation différentielle

(i) F(a:,r, /»/'>• '-9 «>*'> z\...)=zo.

Rappelons d'abord la méthode que Ton suit , lorsque Véquation, à laquelle les fonctions y el z doivent satisfaire y est une équation jfi/i/e

c est-à-dire , lorsque la ligne qui doit jouir de la propriété du maximum ou du minimum , est assujettie à être située sur la surface représentée par cette équation. On en conclut, entre les variations âx^ dy^ âz^ la relation

d*où Ton peut tirer âz en fonction de âx et ây^ et substituer

sous le signe/ dans l'expression 1 â(Ydx)^ qui ne ren-

fermera plus alors que les . deux variations indépendantes dx^ ây] mais comme la quantité sous le signe/ qui doit être égalée à zéro est de la forme Aw -H A'co', il est préférable de remplacer dans l'équation (A), dy elâz par leurs valeurs

THÉORIES GÉNÉRALES, ig

et, en ayant égard à l'équation

dF=zo,

ou

dY dF^ , dF \ dx dy dz *

l'équation (A) se réduit à

dF. dF ,

djr dz

t Tirant de là le rapport—, et le substituant dans l'équation

Aw -h A'w' = o, il vient

^F dF

dz djr

En posant

on a

dx dx' ^ dx dx^ . '

à Téquation précédente il faut associer

Ces deux équations déterminent j^ et z en fonction de x. Cette méthode doit être modifiée, lorsque l'équation qui

a lieu entre y çx z n'est pas fiiiie, mais diflérentielle, telle

que l'équation (i). Voici le procédé général à suivre. Puisque l'équation (1) doit être satisfaite par les valeurs

de x, y^ z qui répondent à tous les éléments de l'intégrale

V^&, on aura, pour chacun de ces éléments,

Il en résulte entre les variations (îx, ày^ àz^ de ces divers

éléments , une infinité d'équations de condition , qu'il faut associer à

i 'S{\(lx) =o.

Pour employer la méthode des multiplicateurs , concevons chacune des équations (2) multipliées par un coefficient indéterminé, variant de l'une à l'autre, et qu'on peut représenter par une fonction {Idx) de jc; ajoutons la somme de ces produits

à Téquation (3), ce qui donnera

(4) j '$(\dx)-+-U¥dj:=zo;

puis, considérant toutes les variations comme indépendantes, nous égalerons à zéro tous leurs coefficients.

A cet effet, il faut développer l'équation (4). En effectuant la différentiation indiquée par à dans le terme VJx, et intégrant par parties, on a d'abord

(5) \y^3c\ '+ r ' dx^y — dy^x-^\^Ydxz=iQ,

Le binôme dxàV — dVdx prend, comme on sait, la forme suivante :

dx dx^ dx ax^

Soit •

dY^^mdx-^-ndy-irpdy' -k-qdy" -\- . , • -\-n' dz-\-p' dz! -k- q* dz -\' ....

On aura

, , dt^' .d'tù'

Le coeflScient de âx est nul , en vertu de l'équation

r/F=o; il reste donc

- €/w d^bi , , , dîù' .d'util!

L'équation (5) devient

do>' ... . ..d

\dx=io.

djc ^ dx^

Conformément à la théorie des variations, on intègre par parties pour faire disparaître, sous le signe f^ les indices de différentiation auxquels sont soumises les fonctions arbitraires 0) , w'^ et Ton trouve •

en posant

B'= (N'+ W) - iii^^tvi) ^ îlliQjtii:) . . . .

dx dx^

Actuellement on égalera à zéro les coefficients de toutes les variations , ce qui donnera , pour un point quelconque de la ligne représentée par les équations cherchées ,

(6) B=:o, B'==o, et pour les points limites ,

4a PRfeMlÈllE PARTIE.

Entre les équations (6) on éliminera Findéterminée X; et l'équation résultante, combinée avec Téquation (i), fournira la solution du problème. L'équation aux limites (7) servira à déterminer les constantes arbitraires introduites par l'intégration.

Il est aisé de s'assurer que cette méthode , appliquée au cas où l'équation qui lie y et z est une équation finie ,

conduira à l'équation déj,à trouvée. En effet, il faut faire, dans les résultats précédents ,

p =Oy 7 = 0,

Alors les équations (6) se réduisent à

^ dP d'Q ' ^ dF

N — h -7-7- — • • • + ^« = 0, ou A-h\-r- = o,

cix dx' • dy

N' , 1 --^ . . .-f->«'=:0, OU A'h-à— - = o.

dx dx^ dz

Ici l'indéterminée X n'est soumise à aucun indice de différentiation, en sorte que l'élimination se fait immédiatement , et fournit l'équation

dz dy

Quant à l'équation aux limites , elle est indépendante de i.

2. Nous allons appliquer la méthode des variations à la recherche de certaines relations générales qui existent entre les coefficients /?, ^7, r, d'une expression différentielle pdx -h qdj -f- rdz^ assujettie à diverses conditions, et dans laquelle a:, y^ z sont des fonctions indéterminées d'une variable indépendante t. Ces relations se présentent dans plusieurs théories importantes de la dynamique, telles que le principe des forces vives et celui de la moindre action.

Proposons-nous d'abord de déterminer quelles conditions dowent remplir les fonctions p^ q^ r des "variables x^ y ^ z pour que V intégrale définie

(pda: -\- qdy -H rdz )

consente une valeur constante^ quelles que soient les fonctions de t quex ^j et z représentent.

(Les fonctions je et z sont seulement assujetties à prendre des valeurs fixes ( jo » ^o)î (j'm -^i) pour les limites oTo ? -^i- )

D'après l'énoncé, on doit avoir

^ [^pdx -f- qdy -h rdz ) == o.

On développera cette condition par la méthode des variations 5 et, pour abréger, on pourra ne pas attribuer de variations à x^ attendu que les limites de l'intégrale sont fixes. Il vient

'" ( -hqdSy-^rddz ]

en désignant, comme à l'ordinaire, par y^ et z^ les déri-

, dy dz vees -p-9 3-dx dx

On intègre par parties les deux derniers termes affectés

de la double caractéristique dd^

Substituant dans la première équation, et omettant le»

termes dégagés du signe/, qui sont nuls aux deux limites, il vient

II faut maintenant égaler a zéro, séparément, les groupes de termes multipliés par âj eldz :

djr dx \dy dz j

du dr I dq dr\ , •

JL h ( — ^ ly = o;

dz dx \dz dy J

et comme ces deux équations doivent subsister, quelles que soient y' et z\ on en conclut

dp dq dq dr dr dp

dy dx dz dy dx dz

Ces équations expriment que la quantité pdx -f- qdy -j- rdz doit être une différentielle exacte relativement aux trois variables x ^y^ -z, considérées comme indépendantes.

Telles sont les conditions cherchées. Nous n'avons considéré que trois variables; mais il est évident que pour tout autre nombre on arriverait , à l'aide des mêmes calculs , à la même conclusion.

• Réciproquement y si Ton a

pdx -f- qdy -J- rdz = d.(f {xy y, z)y

et qu'on imagine deux relations arbitraires entre j^, z et x^ telles que pour x = Xq on ait

et pour X = Xi^

7 = ri» 2 = 2.,

l'intégrale définie

( pdx -H qdy + rdz )

conservera une valeur constante, quelles que soient les fonctions de x quej^ et z représentent.

En effet , puisque l'on a , en considérant les variables x , Y^ z comme indépendantes ,

J[ pdx 4- qdy -h rdz) = <p (x, j, z) -+- const. ,

celte équation subsistera encore , lorsqu'on établira entre ces variables telles liaisons qu'on voudra. Si donc l'on conçoit que y eXz soient des fonction^ de x qui , pour x = .Tq , prennent les valeurs j^o 5 ^o ^ et pour x = Xi, les valeurs ri , z, ; on aura

(/?fi^-|- ^^/J -h rrfz) = cp (07, , J, , C.) ~ y ( J7„, j„, 2„) ,

résultat constant , quelles que soient les fonctions de x qu'on choisira pour y et z.

C'est ainsi qu'en mécanique , lorsqu'il existe une fonction des forces , c'est-à-dire quand on a

l'accroissement de la somme des forces vives de tous les points du système passant d'une position à une autre , est représenté par

2/wvî — i/wv; = 2[<ï)(^,,r,, 2i>.--) — ?(-^»'» J«> 2o,...)]j

et cet accroissement ne dépend que des coordonnées des mobiles à ces deux limites , et nullement des courbes qu'ils ont pu décrire pour passer de la première position à la seconde. Mais il résulte de ce qui précède , que l'accroissement de force vive dépendra, au contraire, des chemins parcourus dans l'intervalle des deux positions, toutes les fois qu'il n'existera pas Ae fonction des forces.

3. On suppose que la différentielle d'une fonction T de la variable indépendante t soit

dT = pdx -f- qdf -t- rdz y

oUx^ y^ z sont des fonctions quelconques de t, etp^ q^ r des fonctions de x^y^ z^ pouvant contenir t\ et Von propose de déterminer quelles conditions p^ q^ r doivent remplir, pour qu en attribuant à x^y^ z des variations arbi-, traires àx^ ây, dz^ l'expression correspondante de ÔT se déduise de dT par le simple changement des d en d^ çn sorte que l'on ait

ST = p$a: -\- qdjr -{-zSz.

Puisque T == fpdx + qdy -+- rdz ,

on aura

ST=f^{pdjc -h qdy + rdz) = J^P'dx -\- $q.dy '\- Sr.dz-^-pSdx-^ qSdy-\- rSdz,

et intégrant par parties les termes où les caractéristiques rf, â sont superposées ,

^T =. p§x '-\- q^y -\- rSz -'f{Sxdp — dx§p) ^{§ydq —dxSq) -h{Szdr -^ dzdr).

Remplaçons sous le signe /, dp^ dp^ dq, dq^ dr^ âr par leurs valeurs, savoir,

dp = -^dt -h -f-dx -{- -^dy -h -^ dz, at dx dy dz

(on ne doit pas faire varier t dans le calcul de cJ/?) , il vient

ac

THÉORIES GÉNÉAALES. /Jj

Diaprés Ténoiicé, la quantité soumise au signe y*, doit être nulle ^ et comme âx^ dj^ àz sont des variations arbitraires , on aura les trois équations ,

dp d^\djr I dp dr\ dz dp

dy dxjdt \dz dx) dt^ ' dt^

dq dp\ dx dx dyj dt

I dq dr\dz dq

\dz dx) dt~ dt^

(dr dp\dx Idr dq\djr dr dx dz ) dt \dx dz ) dt dt

fijr //y d'' Mais le dénominateur commun des valeurs de -;-) —-^ —

dt dt dt

qu'on tirerait de ces équations étant nul, il faut, pour

qu'elles ne soient pas impossibles , que les seconds membres

soient nuls aussi. On aura donc

dp dq dr

ce qui prouve déjà que les fonctions p^ q^ r ne doivent pas contenir t. Cela posé , l'une des trois équations précédentes sera une conséquence des deux autres; mais, comme cellesci doivent subsister indépendamment de toute valeur particulière attribuée aux rapports -^j —9 on devra égaler

séparément a zéro les coefficients des diiFérentielles dx^ dy^ dz , ce qui fournira les trois équations

dp dq dq dr dr dp

dy dx dz dy dx dz

Ce sont , comme dans la question précédente , les conditions nécessaires et suffisantes pour que pdx -+■ qdj -H rdz soit une différentielle exacte par rapport àx^y^ z considérées comme ^variables indépendantes,