Examinons maintenant si les conditions précédentes

subsisteraient dans l'iiypothèse où x, 7^, z seraient liées par une équation finie,

11 en résulte, entre les variations àx^ ây^ (îz, la relation

où l'on désigne par P et Q les dérivées partielles — » — •

Dans ce cas , on ne devra plus égaler à zéro , sous le signe y, les coefficients des trois variations $x^ ây^ âz^ puisqu'elles ne sont plus indépendantes 5 mais si Ton commence par y remplacer Tune d'elles, âz^ par sa valeur

la quantité sous le signe J" prendra la forme

( A 4- CP) 5.r + (B -h CQ) ^/,

en désignant, pour abréger, par A , B, C les coefficients primitifs de âx^ àj^ ô z.

Pour que l'expression de cîT garde la forme

on devra poser

A-+-CP = o, B4-CQ = o.

Ces deux équations rentrent l'une dans l'autre , eu égard k

la relation

dz=:Vda:-^Qdx,

et Ton a ainsi l'unique condition

(iy dx ' \ dy dz ) \dz dx ]

On y satisfait en posant les équations (i) , c'est-à-dire que si pdx -^ qdy -f- rdz est une différentielle exacte par rapport aux trois variables x^ y^ z^ considérées comme indépendantes, l'expression de cîT se déduira de rfT en changeant

les // en J; mais cette condition h* est plus nécessaire. L'équation (2) exprime seulement que la quantité

pdx -4- qdjr H- rdz

doit devenir une différentielle exacte après qu*OH en aura éliminé une variable à Vaide de V équation

zz=:Y(x^jr).

En effet , on a

pdx + qdy -h r«/z = (;? -h rP) iZr -h (7 -f- rQ) r/r, <ii si l'on développe la condition

d.,{p-hr^) ___ d(g^rq) dy "~ dx '

en y regardant z <;omme égale à F(x, 7) , et ayant égard à la condition

dy dx

on retrouve J'équation (2).

Les raisonnements et les conclusions précédentes s'élen- <lraîent sans modification au cas d'une expression différentielle renfermant plus de trois variables x^ y^ ^r-i l'^^s ou non par des équations de condition.

En mécanique , lorsqu'on veut établir le principe de la moindre action , on considère un système de points matériels, assujettis « certaines liaisons exprimées par des équations entre leurs coordonnées x^y^z^ a:',..., où le temps t n'entre pas explicitement. Ces points sont soumis à l'action de forces {X , Y^ Z, ) telles que l'on ait

«t, en désignant par V la vitesse du point dont la masse «st 7?/, on a

5o premieue partie.

La démonstration du principe de la moindre action

( l'fm yds= miDimum )

exige qu'on prenne la variation de S/wV*; et, à cet effet , on tire immédiatement de Téquation précédente,

On voit, par ce qui précède, que cette conclusion ne serait plus admissible si l'expression

liXdx-^Ydx + Zdz)

n^était pas une différentielle exacte, par rapport à toutes les variables J^,y, z^ a:',... considérées comme indépendantes , ou du moins si elle n'était pas susceptible de devenir différentielle exacte, après qu^on aurait éliminé un nombre de variables égal au nombre des équations qui les lient.

EXERCISES I>' ANALYSE. 5l