UN PLAN
La position d^im point sur une surface est en général définie par deux coordonnées. Si l'on désigne par (f , u) les coordonnées d'un point quelconque d'une première surface, par {Xf y) les coordonnées d'un point d'une autre surface, et qu'on pose arbitrairement deux équations entre a:, j, t^u,
à chaque couple de valeurs de t et i/, c'est-à-dire à chaque point de la première surface, correspondra un couple de valeurs pour x et y^ c'est-à-dire un point de la seconde surface. Il existera entre les éléments géométriques corrélatifs des deux figures , certains rapports de grandeur et de forme qui dépendront du choix des fonctions / et F. Nous nous proposons de rechercher quels sont ces rapports, en supposant que la première surface soit une sphère, et l'autre un plan.
i. Théorème. — Une portion de surface spliérique ne saurait être exactement représentée sur un plan par une surface égale et superposable à la première.
La position d'un point p sur la surface de la sphère (/ïg', 2)
5a DEUXIÈME PARTIE.
est dëiermiiiëe par sa longitude Aa = t^ comptée à partir d'un méridien convenu BAC, et par sa latitude ap = u. Soit pqrs un élément de surface compris entre deux parallèles et deux méridiens infiniment voisins , on aura
pqzzidu et />r r= cos u . dt
(le rayon de la sphère étant pris pour unité).
On peut considérer cet élément comme un rectangle, dont Taire sera mesurée par
pq ,pr = cos u . du dt .
Soit P un point du plan que nous regarderons comme correspondant au point p , et dont les coordonnées x el y seront des fonctions, prises a volonté, des deux variables t et u. Au point ^, qui naît du point p par le changement de u en M -f- rfu , correspondra sur le plan un point Q , dont les coordonnées seront
dx d'Y
(Q) ^+5ii'/«- y^Ta'^^'-'
de même , les coordonnées du point R , correspondant de r^
seront
dx dy
(R) ^+rf?'=^^ ^-^i*'
enfin les coordonnées de S , correspondant de s , seront
dx dx dy dy
(S) x-h'j-dt-j'—du^ y ^-^dt-^-^du,
dt du dt du
On en conclut
donc Vêlement plan PQRS est un parallélogramme ^ quelles que soient les fonctions de t et de u que x e\ jf représentent.
EXEECICBS d'analyse. 53
Les côtés PQ , PR représentent sur le pian l'élément du méridien et lelément du parallèle^ si l'on désigne par (f et (p les inclinaisons respectives de ces côtés sur Taxe des x^ on a
dy dx , dy dx
on en conclut
df dx dy dx ^«« du. dt dt du
dt du dt du et, par suite, Taire du parallélogramme PQRSest
PQ.PR.sinQPR= f?^^ — ^ ^\rfarf^ ^ ^ \dt du du dt)
Actuellement posons les conditions pour que Vêlement plan VQRS soit un rectangle égal à l'élément sphérique pqrs. Ces conditions sont au nombre de trois, savoir :
PQ = pq^ PR =pry angle QPR = -i
c'est-à-dire :
^•) Uj ■ \dn)
^ ' dt du dt du
Ce sont trois équations aux différences partielles du premier ordre, entre or, j-, et les variables indépendantes t eXu.
Il s'agit de prouver qu'il n'est pas possible de déterminer pour X et j^ des fonctions de f et i/ , telles que ces trois équations soient satisfaites^ à cet effet, nous introduirons,
avec Euler (*) , l'angle (f déjà défini plus haut par Inéquation
dy (Ix
(f est une fonction inconnue de t et i/. Les trois équations ci-dessus seront remplacées par les quatre suivantes :
dx dx
— - = sin © ces tf , -— = ces » ,
-7- = — ces 9 cos a , -7- = sin © .
dt ^ ^ du ^
Les deux premières font connaître les dérivées partielles de la fonction x par rapport k t et u : elles doivent donc remplir la condition d'intégrabilité
,da: dx
dt du
du dt
en la développant , on a
d(p d (0 sin © --i -h cos cp cos a -7^ = sin cp sin u.
^ dt ^ du ^
Pareillement, la condition
dt du
du dt
donne
d (0 , dfb
cos 9 —r — sin œ cos u—^ = cos 9 sin u .
^ dt ^ du ^
Or, si Ton élimine tour à tour -^ et -r^ entre ces deux ' di du
équations , il vient
du ' dt
cos M --^ = o , -r^ = sin w ;
d'où Von tire deux conclusions contradictoires, savoir :
f/) Académie de Saint-Péiersbourç, 1777,
EXERCICES D'AlirÂI.Yft£. 55
i" que la fonction (f est indépendante de li ; a^ que la même fonction renferme la variable u. Donc les équations (i), (2) et (3) sont incompatibles, et la représentation graphique exacte d^une surface sphérique sur un plan est impossible ^ ce qu'il fallait démontrer.
2. Proposons - nous maintenant cette question : Est-il possible quil y ait similitude entre les deux éléments correspondants PQRS , pqrs ?
La similitude n'entraîne que deux conditions :
