PQ PR

-^ = — , angle QPR = - »

pq pr 2

OU

ces

dx dx dy dy dt du dt du

dy

Posons , comme dans le premier cas , tang çp = — i et ces

du

deux équations seront remplacées par les trois suivantes ;

COSM

dy du

dx

COSy

dy du

sintp

dx du

sin<p

— cos<p

dx

ici, comme nous avons trois fonctions inconnues a*, j, 9 et le même nombre d'équations à satisfaire, on comprend que le problème sera possible, en général. Nous nous bornerons à discuter un cas, qui ne laissera aucun doute sur cette possibilité; c'est celui où Ton ajoute à la similitude une nouvelle condition de nature à simplifier la représen-

56 DEUXIÈME partif;.

talion graphique delà sphère, à savoir que FélémenC PQ div méridien soit perpendiculaire à Taxe des x.

Alors on a ç = - » et les trois équations précédentes ser

réduisent à

dx dr dr dx

-p-=(>, —-=0, COSM-j- = -7-5

da dt du dt

on conclut des deux premières que x sera indépendant de u, et j^ indépendant à&tv par suite, la troisième équa-

dx dx

tion apprend que — sera une constante, puisque si —

était fonction à^f^y dépendrait aussi de cette variable.

, dx 9 s

Soit — = 71 , d^où X = nt 4- const. ; x croissant proportionnellement à la longitudes , les méridiens seront représentés sur le plan par des droites perpendiculaires à ox , dont les distances mutuelles seront proportionnelles aux angles que ces méridiens font entre eux. A des méridiens cquidistants- angiïlai rement , correspondront des droites parallèles équidistantes.

Quant aux parallèles sphériques, puisque l'élément PBest à angle droit sur PQ , il prendra une direction constamment parallèle à Taxe des X'^ par conséquent, les parallèles sphériques seront aussi représentées par des droites perpendiculaires aux premières , mais inégalement distantes. La loi de ces distances sera fournie par Téquatio»

djr

ces u -i-=z n-:

du

d*oii l'on lire, en intégrant y

Nous conviendrons que Taxe ox représente Téquateury et que l'origine des coordonnées corresponde au point A •.

const.

EXERCICES d'aIHALYSE. Sj

pour lequel on a f = o, a = o. Alors nous aurons

X znnty

Si l'on considère sur la sphère (Jig- 3) un élément pi^ appartenant à une courbe quelconque, et que PV soit l'élément de la ligne plane correspondante , on a

pr du

tangt/?r=: — =

pr ces u de

,rr.« VR dr lang VPR = — - = — V • ^ PR ndt

Or = — : donc tang ypr == tang VPR. Ainsi on vé-

cos un ^ ' °

rifie qu'une courbe quelconque fait, avec chaque méridien ^ le même angle sur la sphère et sur le plan.

La* ligne à double courbure, qui sur la sphère coupe tous les méridiens sous le même angle, et qu'on nomme ïoxodromie y sera représentée sur le plan par une ligne droite. C'est cette propriété qui a fait adopter le mode de représentation graphique que nous venons d'étudier, dans les cartes marines dites de Mercator. En mer, le pilote ne s'attache pas à suivre la ligne la plus courte d'un point à un autre, c'est-à-dire l'arc de grand cercle qui joint ces deux points , parce que cet arc fait avec les méridiens successifs des angles différents, et qu'il serait très -compliqué de diriger à chaque instant sous ces divers angles la route du vaisseau par rapport aux méridiens. De plus , si Ton s'engageait dans cette voie, les déviations inévitables causées par les courants ne tarderaient pas à faire sortir le vaisseau de l'arc de grand cercle qui joint le point de départ au point d'arrivée , et dès lors tout le calcul des angles sous lesquels on doit rencontrer les méridiens successifs serait à recomraencei* Au can Irai re, pour suivre la loxo-

dromie , il n'est pas besoin de calculs *, on joint par une droite, sur la carte marine, le point de départ au point d'arrivée ; on mesure Tangle que cette droite fait avec Tune des parallèles qui représentent les méridiens , et le pilote n'a qu'à maintenir, à l'aide de la boussole, la direction du navire sous cet angle constant.

Toutefois, on conçoit que cet angle peut lui-même devenir fautif par suite des déviations auxquelles le vaisseau est exposé, et qui peuvent nécessiter le tracé d'une nouvelle loxodromie: on a soin, dans le cours du voyage, de déterminer de temps en temps la vraie position du lieu où l'on se trouve , afin de corriger l'angle sous lequel on se dirige.

Tandis que les courbes loxodromiques sont représentées , sur le plan, par des lignes droites, les arcs de grand cercle sont représentés par des courbes transcendantes.

En eifet , soit hp un arc de grand cercle , incliné à l'équateur de l'angle pAa = 9; l'équation de cet arc en coordonnées sphériques est

tang u = tang 9 sia t,

(On passerait au cas d'un cercle, situé d'une manière quelconque, par un simple déplacement d'origine sur Téquateur, ce qui reviendrait à remplacer t par t-f-const). La courbe EP, qui répond à cet arc sur le plan , sera définie par les équations

a: = nt, jr = n\ tang { 7 "t" -

associées à la précédente.

Pour avoir l'équation de cette courbe en coordonnées rec-

{*) D'après une propriété connue des projections sléréographiques. In projeclion stéréographique de la loxodromie sur le plan de Téquateur sera une courbe taisant un angle constant avec ses rayons vecteurs, c^cst- à-dire une spirale logarithmique.

EXERCICES d'analyse. 59

tangles, il reste à éliminer t et u entre ces trois équations*,

on a

u - / \ i-htang-

~ fit u\

I — tang -

d'où

u f-"—! e" — I tang - = 7 *^' ^ng« = J-

Donc l'équation cherchée est

or

= tant; sin -

Cette courbe coupe l'axe des x ou Téquateur sous l'angle 0. L'ordonnée maximum répond à x = — *, d'où

e^=z tang Ô \/i-h tang'ô et y = n\ tang ( 7 -+" - )