PLANES

1. Relations entre le rayon de courbure d* une courbe plane et le rayon de courbure correspondant de sa dév^eloppée.

Soient ABC ( fig. 4) une courbe plane , A' B'C sa développée , p un rayon de courbure A A' de la première , p' le rayon de courbure correspondant A'P de la seconde^ si l'on considère un rayon infiniment voisin BB', faisant avec A A' un angle d(f , on sait que Tare A'B' de la développée est égal à

la différentielle r/p, et que p' est la limite de '--r— 7 donc

Si Téquation de la courbe AB est donnée en coordonnées restangulaires x et y, on tirera aisément de l'équation (i)

l'expression du rapport — ? en fonction des dérivées de y

F par rapport à a. En effet, on a

p' dp dp p p d(f ds

ds désignant la différentielle de l'arc de la courbe AB. Or, si Ton différcnlie par rapport à x l'expression

ùr

ou 1 on a

il vient

EXERCICES D ANALYSE. 6l

dy d*x

-^ = ±:-^ 7 ^-^yi -+-/'% en posant r=-^.

D'ailleurs — = ^ i -f- />» ,

donc

2. Au lieu de définir la courbe AB par une équation entre les deux variables x et y, on peut se proposer de la définir par une équation entre les deux variables p et p'.

En eflet , p, </, r sont des fonctions de x déterminées par Téquation de la courbe ç(a:, j^) = o; si Ion conçoit qu'on ait remplacé ces fonctions par leurs valeurs dans les équations

il ne restera plus qu'à éliminer x entre ces deux équations. Ou bien , s'il n'est pas possible d'exprimer p^ q^ ;• en fonction explicite de x, on éliminera x el y entre les deux équations ci-dessus, associées à y(x,j^) = o.

Par exemple , s'il s'agit d'une ellipse , dont l'équation est

on aura

> — bx — ab — Zabx /? = —==, q = 5^, rz= -,

asla^-x^ (^'-;c«)^ [a^^x^f

et, par suite ,

P= TT— ^' f-= ^^7 ' c' = û'-^^.

a^ b ôp a^b

Ou lire de la première

en posant

Celle valeur de a:*, substituée dans la seconde équation, donne

ou bien , en rétablissant la valeur de z ,

Telle est l'équation qui lie, dans Tellipse, les deux rayons pj p' . Elle montre que la plus grande valeur de p

est -y-9 et la plus petite — ^ et, qu'à ces deux limites, le

rayon de la développée , p' = o. Le maximum de p a lieu au sommet du petit axe , et le minimum au sommet du grand axe.

Les calculs précédents s'appliquent à l'hyperbole, en

changeant b en b\ — i. Dans le cas du cercle, a = b^ et l'équation précédente devient

+i,-^îy=o.

3f elle se partage en deux, p = «, p' == o.