Déterminer la courbe dont le rayon de courbure est
proportionnel à celui de sa développée,
Soit —=: kl réqualîon différentielle de la courbe cher- P chée sera, diaprés la relation (a) ,
op — r -^ = A .
Cette équation ne contenant pas explicitement :r , on lui appliquera la méthode du changement de variable indépendante; prenons/? pour variable indépendante, il vient
r = ^ = ^.^=^7 dx dp dx dp
L'équation prend la forme
qdp
OU
3/? — X- , dq
JL dp i = O .
Les variables étant séparées, on intègre, et l'on a
j I {i -\-p^) — ^arc tang/7 — 1 c*/ = o,
c étant une constante arbitraire, et / la caractéristique des logarithmes népériens.
Si l'on remplace ^ par — 9 et qu'on résolve par rapport
à tir 5 il vient
k arc tang:;/ , ce ^'^ dp
dx — 3 '
ou, en posant p :
= tang(p,
par suite ,
dx=i ce ^ cos ^ d<^ ; dy ^:^ ce sin yrf^.
Avant d'aller plus loin , remarquons que cette dernière expression de dx aurait pu être obtenue plus simplement, en partant de lequation (i). B'Ue donne, en eflet ,
P et puisque - = X,
intégrant, il vient
pzn ce
Or, (f étant l'angle de la tangente avec l'axe des :r , on a
donc
ces cp = — - et as = ûa<f\ as
par suite
dx —
cosç =
p COS f //<p
dx ' pd(f'
r=: ce ^ COS(p«^f ,
comme ci -dessus.
Intégrons viendra
maintenant les
expressions de
(Jx
et
(sin^^- /cosç),
^"^—jr^n^ ^(Xsin^-cosip).
a et /3 sont deux constante:» arbitraires, qu'on peut toujours faire disparaître en transportant les axes coordonnés parallèlement à eux-mêmes, aux points x=ûf, j" = /3; ce qui d'ailleurs ne change pas l'angle (f. C'est pourquoi nous omettrons ces deux ^constantes dans les calculs qui vont suivre.
L'élimination de (f , entre les deux équations précédentes, fournirait Téquation de la courbe cherchée^ mais il vaut
EXERCICES d'analyse. . 65
mieux employer les coordonnées polaires. On tire-, par
division ,
tanc 9 — -r
jr ^ Vtn^^ — i __ ^ ^ ^ ^
X X* -t- tanc ® I
ou, en désignant par 6 Tangle mox {fig- 4) 9 <loi^^ 1^ ^^^'• gente est -y par w l'angle dont la tangente est 7 '
tang é = tang (? — «) et «p *— 9 = « .
Mais y — 6 n'est autre que Tangle owT que fait la tangente avec le rayon vecteur om 5 cet angle est donc constant^ propriété qui caractérise une spirale logarithmique.
Si , au lieu de diviser^ par x , on avait ajouté les carrés de ces variables , on aurait eu l'expression du rayon vecteur om^ •
et puisque ç = -h 0* ,
c'est bien l'équation polaire d'une spirale logarithmique, dans laquelle l'angle de la .tangente avec le rayon vecteur
a pour tangente trigonométrique r- . Dans l'hypothèse A = i ,
cet angle est de 45 degrés.
On aurait pu achever l'intégration, sans recourir aux
coordonnées polaires , en remplaçant tang (f par -^ dans la
valeur précédente de -1 ce qui eût donné Téquation diflfé-
dx
rentielle du premier ordre
xdx -+- ydy = k[xdy — ydx) ;
66 DEUXIÈME PAKTIÏ.
«m dWisant les deux membres par x'-f-j'*, ils devieiincnt intégrables, et Ton a
; Aarctang^ ^^
résultat conforme aux précédents.
4. Etant donnée une courbe AB, si Ton forme sa développée- A'B', puis la développée A"B'' de A'B', courbe qu'on peut appeler développée du second ordre de la courbe primitive, puis la développée A!''W de A!'W^ ou déi^eloppée du troisième ordr^ , et ainsi de suite, on aura, en désignant par p, |ù', p", /?'", . . . lés rayons de courbure correspondants de la courbe AB et de ses développées successives ,
, dû „ dû' . d^ p , „, d^û , ^ </»p
' drf P dff df ^ df^ ' ^ dtf^
Le problème que nous venons de traiter n'est qu'un cas . particulier dç celui où Ton proposerait de déterminer une courbe telle , que son rayon de courbure eût un rapport constant avec celui de la développée du w''"*' ordre.
On aurait à intégrer une équation linéaire de Tordre n ,
L'intégrale est
A, désignant l'une des racines n'^'"" de A, et c, une constante arbitraire. L'indice i prend successivement les. valeurs I, 2, ... , /i.
On en conclut , comme précédemment , deux équations Unies entrea:,y et (p, savoir :
EXERCICES d'analyse. 67
L'élimination de f entre ces deux équations n*est plus possible en général. On peut remplacer leur système par le suivant :
(j?— ra)sin^ — (/ — P) cos^p = \^ À,-^ *^ ^
AiAfC '^•
La seconde équation étant la dérivée de la première par rapport à y, la courbe cherchée est l'enveloppe des droites que représente la première équation quand on y fait varier <f ^ et ces droites sont tangentes à la courbe.
5. Déterminer la courbe dont le rayon de courbure en chaque point est une fonction donnée du rayon vecteur mené d'un point fixe à ce même point.
Soient om = r (fig> 5 ) le rayon vecteur, cm =-p le rayon de courbure correspondant ,
mTx==(p, moT = e, omT = V.
On a
ds ds .., dr . ,, rd^
û=:--=±-- r—î COSV=~5 SmV = — —.
^ df^ d^-^dy ds ^ ds
 Taide des deux dernières relations, on peut éliminer de l'exp'ressipn de p, ds et dOy et il vient.
rdr
^(rsinV)
Cette formule, qui convient à toute courbe plane, est propre à résoudre tous les problèmes dans lesquels Iç rayon de courbure p sera donné en fonction du rayon vecteur r, ou du produit rsin V (projection du rayon vecteur sur la normale) ; car çUe permettra d'exprimer V en fonction de ^
rd&
par une quadrature , et comme on a d'ailleurs tangV = j
gg DEUXIÈME PARTIE.
on en conclura / en fonction de par une nouvelle intë-
gration.
Ainsi, soit en généraLp =/(r). L'équation (i) donnera
rdr
fi"-)
d^où •
rrdr c étant une constante arbitraire.
Puis ' . •
rsm
et
Ainsi , le problème se ramène. toujours aux quadratures.
Examinons le cas ou le rayon de courbure est proportionnel au rayon ^vecteur.
On a, en désignant par n une constante donnée.
J/équation (i) devient
d{r ûxi^l) z=z n dr \ d'où
( 2 ) * r-sin V =f /rr -+- c.
Si Ton a n > i, la constante arbitraire c devra être négative , afin que la valeur .de sin V soit plus petite que i .
Si l'on a /î<;i, c pourra être positive ou négative; et si Ton supposait de plus, e=o, on aurait sin V 3= «^ PangleV
RXfcllCICE8 DAMALYSE. ^9
serait constant. La courbe cherchée serait donc une spirale ' logarithmique. En effet, dans cette spirale, dont Téquation
est r.== Ae*"^, on sait que p = r V^H-m'.
Si n = I , la constante c devra être négatiVc ou nulle.
Soit ic? = o , on en conclut V = -; c'est le cas du cercle.
puisqu'alors — = 05 d*où r = const.'Le cercle n'est d'ailleurs qu'un cas partjculier de la spirale logarithœiqur.
Laissons ces cas particuliers, et revenons à Téquation ( 2 ) ^ on en tire
/ir-f-c rd^
tangV =
d'où
y^r>— (/ir-+-<:)» ^^
J r \Jr^^(nr^Y J V''^— ('"'
= arc cos
La seconde intégrale prendra des formes différentes, selon que n sera > i ou <^ i .
Soit n<^i, on aura
^ — * w = arc cos { ./z 4- - )
,Si Ton suppose t = ô, on retrouve r= Ae*"^, spirale logarithmique.
Dans le cas où /i = i , la constante c restant quelconque \ la formule précédente n'est pas applicable. I/intégration
' directe de Texpression de dO donue , en chaDgeant c en — c',
9 — w=-7=^a'* — c — arc cos i / ^ — '
pu bien . . * •
( ô -t- arc COS"!/ — j ^c — \/2r — c-t-a = o.
La constante fl remplace «. L'hypothèse c = o donne r = const. , comme on Ta déjà vu. .
D*àprès ce qui précède , on voit que la propriété d'avoir le rayon de" courbure proportionnel au rayon vecteur issu • d'un point fixe , n'est pas caractéristique de la spirale logarithmique , mais qu'elle appartient à une classe de courbes transcendantes assez étendue. .
Npus avons indiqué plus haut que la formule l(i) convient alissi aux problèmes dans lesquels on deman4e une courbe dont le rayon de courbure est une Jonction donnée de la projection (r sin V) du rayon vecteur sur la normale.
En effet, soit # . .
p=:/(rsinV)^, et posons
rsinV = 3;
Téquation (i) donne
rdr^f[z)dz,
dont l'intégrale jBSt
pt'remplaçant ^ par sa valeur en r et ,
« ' dr
Si l'on peut la résoudre, soit par rapport à — ? soit par
rapport à r, l'intégration s^achèvera par des quadratures.
'EXERCICES DAK4LVSE. ^ Jl
Par exemple , soil
p = /ir sin V ;
on aura
r' — fl» = nr' sin' V,
a étant une constante arbitraire , d'où
Si Ton suppose a = o., cette intégrale se réduit à
on retrouve la spirale logarithmique y résultat conforme aux propriétés bien connues de cette courbe ; et pour n = i , la spirale dégénère en un cercle.
Autres solutions, — Gomme exercices d'analyse , nous indiquerons Tusage qu'on aurait pu faire, dans les problèmes précédents, (Jes formules ordinaires du rayon de couçbure en coordonnées polaires et en coordonnées reciîlignes.
p-^jL. 2 r —
En régalant à -i on a
Cette équation ne contenant pas 6 explicitement, on l'abaisse au premier ordre , en posant
dr . . d'r pdp
d^ ' d9' dr
^a . DEUXIÈME PARTIE.
et TéqUation devient .
- / pdp
On la simplifie en posant
(Toi
ru
dp du
dr dr
il vient
h rudu
(3) . ,.(,-h«')^=:I-ha'-^. . ..
Comme mûÎm = i rf (i-h a*), on est conduit à prendre pour
inconnue la fonction iH-m*. • Soit
il vient
dt
^ ' dr . '
Les variables se séparent, et l'on a
T ~~ ^(i — rit) • . .
dont l'intégrale est
elle coïncide avec l'équation ( 2 ) obtenue dans le précédent calcul 5 car la variable t n est autre que -^^ , etc. 2°. L'expression de p aurait pu encore s'écrire :
rdBj J
/ dr y d / dr\
EXERCICES d'àMALTSE. jS
et cette forme conduirait à prendre pour inconnue
* . dr ' •
L'équation du problème serait ainsi
4 du
EUe ne diffère pas de Téquation (3)^ car
du ru du
3°.' Si "l'on part de l'expression de p en coordonnées rectilignesy
dp
dx '
l'équation du problème est
En multipliant les deux membres par le facteur
xdx r\' rdy x-hpx ou ^ — y
le second membre devient
n(xdx'+-x^f}
différentielle exacte , et le premier membre devient
dont on n'aperçoit pas immédiatement l'intégrale; cepen-*
dam I îniégratkMi par partiel douie
• xdp px i" dy
et. en ajoutant,
L'éqnatkm (4 s^intègre dmic une jKemière fois par cette méthode, et- donne
Or
«X — r -n(r — rdx r'd% .
= ^ " = -— — =r rsin V.
L'intégrale précédente éqaÎTaut donc à
c'est I'é({aation (2) de la première solution , etc.
6. Déterminer une courbé dont le rayon de courbure, en chaque point, est égal à une longueur donnée mulUrpliée par le. sinus de l'angle^ que fait la tangente en ce point avec une droite fixe,.
On a réqoation
' G = a sin 9.
En partant de la reUtioc p = --- > et choisissant la droite
fixe pour axe des x , on trouve , par une intégration bien
simple ,
