X- = aux

d'où Ton conclut que la courbe est une cycloïde dont le

cercle générateur a pour rayop 7* On peut aussi chercher

directement l'équation de la courbe en coordonnées rectangulaires, etc.

7. Déterminer une dpurbe plane telle y que Varc compris entre deux de ses points, soit égal à Parc de cercle décrit du poiiit d'intersection des normales menées par ces points, comme centre , ayec un rayon égal, à la moyenne arithmé-, tique entre ces normales (*).

Soient (Jig. 6)

AO'^=py mOzizq;

deux normales à la coutbe cherchée , (p l'angle AOm , 5 l'arc A m 5 on doit. avoir

Soit mf un point infiniment voisin de m.; m'O' la normale correspondante. Menons OH perpendiculaipe et Ofi parallèle à cette normale ; nous aurons

m^z=i qdfff \t.m' = OH = 00' sin ^ = ^^ . sin 7.

Donc

On a aussi

dsz=:qdf^-^ dp.Wf^, (yiA=zdq=zdp, ces y.

Ainsi, entre les quatre Variables 5, p, ^, ^ , on a les trois équations

' dq =:dp. cos f ,

ds = qdf^ -h sin^ '.i;^.

( *) Commentaires de Saini^Pétershifurg, 1749» Mémoire d'Euier.

j6 DCUXlklCE PARTIE.

Si Ton élimine p et 9, il restera une équation différentielle entre 5 et f. Pour Tobtenir plus commodément, posons

s ds i=zjdu -^ udf.

Les équations précédentes deviennent

dq =. ces ff . î^, .. ffdu==(q — u) d (f ' -h, sïnif, dp.

La p|*emière donne ' ' *

q z=r2 u — Pj dq z=: ndu — dp^

et, substituant dans les deux autres, il vient

n du =z (i ^ costf) dp y

9du -=. [a — p)di^ -k- ^lïiff dp,

entre lesquelles il reste à éliminer p.

Substituant dans la seconde la valeur Aià dp^ tirée de la première, on a

(2sîncp \ du

I + COS<p ^/

du, ..

DifTérentiant et remplaçant -~- par sa valeur X — , il

a<p * • I -|- cos«p

vient, toutes réductions faites,

2sin9 \ d"^ u

^ I -h cos^ / ^/«p^

Lé premier facteur égalé" à zéro donnerait

ce qui exigerai t. que, 9 fût constamment nul^ alors la ligne AB serait droite , et l'arc A m pourrait être regardé comme appartenant à un cercle de rayon infini. Ecartons cette so-

EXERCICES d'analyse. 77

lution ) qui sera d'ailleurs comprise dans la sohition générale. Le second facteur, égalé à zéro, donne

cl OÙ A- = —L -f. i « :

aetb sont deux constantes arbitraires.

On conclut de là le rayon de courbure de la courbe cherchée

p = rf; = "' "^ *•

et le rayon de courbure de la développée

, dp

p' étant constant, la développée est un cercle. Donc la courbé cherchée est une déi^eloppânte de cercle. Le rayon de ce cercle est égal à.a , et comme on a pour ç == o, p = i, la constante b. repréeente le rayon de courbure AC du point . A. Si Ton supposait a = o, la développée se réduirait à i^n point, et la développante deviendrait elle-même un cercle.

En effet, le cercle satisfait évidemment à l'énoncé du problème.

La tangente en m fait avec Taxe de3 x un angle complémentaire de cp -, on a donc •

dx . dy

- = s.n.p. ^ = cosç,

, et, remplaçant ds par sa valeur (a(p -f- b) J(p,

^x = (âr(p 4- 6)sincpâff, rfy =:: (û<p -^f ô) COS(p^ç.

Intégrant, et déterminant les constantes par la condition que pour ç = o on ait

il vient

X — b=ia%\ni^ — (<^^ -f^ A)cos«p,

>• -i- /ï = a ces y -h ( <? <p -4- ^) sin (p.

Pour éliminer 9, on remplace le système de ces équations par le suivant : ....

{x — ^)sin(p -h ( J -f- «)cpsf = o.

Ces deux équations expriment deux propriétés caractéristiques d'une développante de cercle de rayon a , et l'on au- . rait pu les écrire immédiatement: la «première signifie,* en effet, que la longueur de ia normale c^m est égale à l'arc ÇC'(a(p) augmenté du rayon de courbure AC==i^ et la seconde apprend que la projection du contour polygonal mP -h PI, sur le rayon IC, est égale à ce rayon. L'élimination dé (f se fait sâins difficulté , et Ton a

- 6) sin r-^-f-v/(x-^^)>^4-(r-h^r-^-i

v • f— ^ 4- V^ {:c — ^)' -h (r -h ay — a'I + (r -t- «) cos , ^ ^ — \4 -^ \=za.

Telle est, en coordonnas rectangles, Téquation de la courbe demandée.

On a .

I//1 = )/(x — by -h (7 -H fl)';

soit Im = R , 'on en "tire

KdK = for— ^)<ir-h(7 -|-a)rfj = (ay -4- b)ad(f.

Or ' .

ds=z (fl<p4- b)dff; ,

donc '

KdKz=adSy d*où 2flr5=R^— RJ,

en désignant par Ro le rayon vecteur IA. Ainsi on a la proportion

2a : R — R».:: r + Ro : s)

c'est-â-dire que l'arc A m est une quatrième proportionnelle au diamètre de la développée circulaire, à la difïe-

rence des rayons vecteurs menés du centre du cercle aux extrémités de l'arc et à la somme de ces mêmes rayons.

Remarque, — Le problème que nous venons de résoudre a mis en évidence une propriété remarquable , qui n'appartient qu'à une développante de cercle , c'est que la longueur d'un arc de cette courbe est égale à l'arc de cercle qu'on décrirait du point d'intersection des deux normales extrêmes avec un. rayon égal à la demi-somme de ces normales.

Il est facile de démontrer directement ce théorème.

Soient

AC = ^, mC -z::^^- arcA/îi = 5, CI = «;

on a

p = AC -h arc ce = A H- a(f ,

AC=rAO — CO, i»C' = m0 4-C'0 et CO = C'0; donc

8o DEUXIÈME PARTIE.