DE LA COURBE QTJI COUPE TOUTES LES ARETES DE LA
SURFACE SOUS VU ANGLE CQNStANT.
1 . TiaÉoRÈME. — Si Von trace sur une surface conique quelconque une ligne géodésique (ou ligne la plus courte entre deux de ses points), chacune de ses dés^eloppantes sera située sur la surface d'une sphère y ayant pour centre ie- sommet du cône^ chacune de ses tangentes Jera un angle constant av^ec le rayon de la sphère aboutissant au point d* incidence , et les plans tangents de la surface conique et de la sphère j en deux points correspondants, seront perpendiculaires entre eux.
L'équation aux différences partielles d'une surface conique , dont le sommet est à Torigirie o des coordonnées, est
(l) zz=px-^qx^
en posant
dz, dz
Considérons sur cette surface une ligne géodésique A m B ( ftS' 7) • En désignant par s l'arc B m , compté à partir d'un certain point B, et terminé au point m(x^y^ z)^ les équations différentielles de cette ligne sont , comme on sait ,
ds ds ' .
dz dz
ds ds
EXERCICES d'analyse. 8i
Si Ton substitue, dans 1 équation (i), ces valeurs de pet de q^ on a
Cette équation , qui a lieu pour toute ligne géodésique appartenant à toute surface conique dont le sommet est en o, va nous fournir la propriété dont il s'agit.
Soit m'(j:', j', z^) un point de la développante, en sorte que mm' = 5 -f- a , a étant une constante •, comme mm' est tangente à la courbe AB, on aura
x^x' __ X—y __ z-^ z' dx dy dz ^
ds ds ds
d'où %
\dx , , .dy , . .dz
rfj/ = — (j-ha)/i^, dy'=:^[S'V-0L)d-£, r/z'= — (j-|-a)fi?-,
et , par suite ,
(dx dy dz\
/û?j: dx dy dy ds ,(iz\ ^ \ds ds ds ds ds ds)
Or, en vertu de l'équation (a) et de la relation
le second membre de l'équation précédente est nul ; donc
x'da/ + y'dy' + z!dz' == o,
et intégrant ,
équation d'une sphère, dont le point o est le centre. La développante A'B' est donc située tout entière sur cette
sphère, ce qu'il fallait démontrer. Pour déterminer la constante a, il suffira que l'on donne la distance à l'origine, du point décrivant m', dans l'une de ses positions. Soit ç l'angle mm! o-^ on a
i/ ,dx .dy .dz\ if dx dr dz , ,"1
Or, en intégrant par parties l'équation (a) , on a
dx dr dz
(3) ^-r-^y-r -^-^ T — .ï = const =:c;
^ ' ds ds ds
donc cos(p = const, ce qui est la seconde partie du théorème.
La distance de l'origine o à la tangente mm' est aussi constante, puisqu'elle est égale à asin^; donc la tangente mm' reste constamment tangente à une seconde sphère concentrique à la première.
On a aussi
ou
x'd , ds
dz
dx ds
P^ds ds +
z' ds a ds
ou cos^f/ = o, t|/ désignant T angle que le rayon de courbure p de la ligne géodésique au point m , fait avec le rayon correspondant [om.'). Ainsi, le rayon de courbure de la ligne géodésique [lequel est perpendiculaire au plan tangent de la surface conique), est perpendiculaire au rayon correspondant om de la sphère qui contient la déi^eloppantey ou, ce qui revient au même, les plans tangents de la surface conique et de la sphère en deux points corres" pondants sont perpendiculaires entre eux; ce qui est la troisième partie du théorème.
Remarque. — L'équation (3) manifeste d'autres pro-
EXERCICES d'analyse. 83
priétés de la ligne géodésîqiie. En désignant par R le rayon Vecteur om = v'x'-f- J*^- ^% <^^tte équation peut s'écrire (4) RdK-^sds=cds^
et intégrant ,
R» — RJ = j^-|-2cj;
Ro désigne le rayon vecteur o B correspondant à 5 = o , et la constante c est égale à la projection de ce rayon sur la tangente en B. 11 suit de là que la longueur de l'arc lim sera constructible par la règle et le compas , quand on connaîtra les rayons vecteurs des deux extrémités de l'arc. La courbe est donc rectifiable.
Considérons deux éléments consécutifs mm', m/ m" de la ligne géodésique ; on a [fig- 8)
, X dx Y dr z dz dK cosCmm' = ---— 4-;;--f-h--=r — ,
R ds K ds a ds ds
et, en vertu de 1 équation (4),
R cos C mm' =z s -\-c :
au point m\ on aura de même
R' cos Cm' m" = s' -\-c,
et , par suite , comme s' — s = ds = mm[^
R' cos Q!m'm" — R cos G mm' = mm' .
Or, si l'on projette le rayon R sur la tangente mm\ et que mP soit cette projection, on aura
mm' =zmV — Vm' = — R cosC/w/w'-f-R'cosC'/w'P ;
par suite , l'équation précédente se réduit k
cos Cm' m" =z cos C'/w'P .
Les deux angles Cm'm'\ Q'm'V sont donc égaux : c'està-dire que deux tangentes consecutwes de la ligne gépde-
sique sont également inclinées sur V arête intermédiaire du cône.
Cette propriété résulte d'ailleurs immédiatement de cette considération , que la ligne la plus courte sur une surface conique doit avoir une transformée rectilîgne dans le développement de la surface. Sur un cylindre, la ligne géodésique, ou Thélice, a la forme d'une spirale qui coupe toutes les arêtes sous un angle constant. On voit que dans le cône il n'en est plus ainsi. L'angle m'mO, que l'élément mm' fait avec Taré te correspondante , et que nous supposons aigu , est plus petit que l'angle m"m'0 correspondant à l'élément suivant, puisque ce dernier égale Pw'O 5 il y aura donc, dans l'étendue de l'arc BmA, un élément qui fera un angle droit avec l'arête, et sa distance au sommet du cône sera minimum^ de part et d'autre, la courbe s'éloignera du sommet jusqu'à l'infini.
Dans tout ce qui précède , nous n'avons particularisé en rien la surface conique. Si on la suppose de révolution autour de l'axe des z , il sera facile, en partant de l'équation
(où la constante h désigne la tangente de l'angle que l'arête fait avec l'axe) , d'obtenir l'équation de la projection de la ligne géodésique sur le plan des xy. En effet , en divisant l'une par l'autre les valeurs des dérivées partielles p , ^ 7 on a une équation immédiatement intégrable
dx djr
d'où
xdy — ydx = cds ou r'dO=:cds,
6 désignant l'angle de la projection r du rayon vecteur om avec l'axe des x. Cette équation exprime que Vaire décrite parla projection du rayon vecteur sur le plan des ocy croît
EXERCICES d'analyse. 85
propordonneUement à Varc décrit sur la ligne géodesique, •
Si l'on remplace dans l'équation précédente ds par sa valeur
I 4- — l-hr'^G',
il vient
cdr
dB=z
dont l'intégrale est
cos/i?(0 — wj
en posant , = m.
On déterminera les constantes c et co, en assujettissant la courbe à passer par deux points donnés sur la surface conique. Supposons, pour simplifier, que les deux points soient situés sur un même parallèle de rayon b 5 faisons passer le plan des zorpar l'un d'eux, et soit Q^ la valeur de 9 qui correspond à l'autre ] on aura les deux relations
cosmtù cos/iî(9, — wj
d'où
w = — ) c =z o ces m — •
Pour 6 = — 5 la valeur de r atteint son minimum 6 cos m -î- ; 2 2
en ce point, la tangente est perpendiculaire au rayon vecteur. Le point correspondant de la ligne géodésique est le plus rapproché du sommet du cône , puisque le minimum de R a lieu en même temps que celui de r, et la tangente fait pareillement un angle droit avec l'arête du cône. Ce point, qui est à égale distance des deux points donnés , est un sommet de la ligne géodésique.
Pour 6 ■= -^dz 5 on a r = 00 , ce qui détermine sur
le cône deux arêtes asymptotes de la ligne géodésique, symétriquement placées par rapport à Tarête minima .
2. Déterminer sur la surface d'un cône la courbe qui coupe les arêtes sous un angle constant y et qui passe par deux points de cette surface. — Longueur d'un arc de cette courbe i mesure de la portion de surface conique y comprise entre cet arc et les arêtes qui passent par ses extrémités. — Transfoimée de la courbe dans le développement de la surface conique sur un plan.
Soit AmB [fig- 9) une courbe dont la tangente wT fait un angle constant a avec l'arête om d'une surface conique \ nous ne supposerons pas d'abord que cette surface soit de révolution. L'énoncé fournit immédiatement une équation différentielle de la courbe
xdx H- y-dy -h zdz , /
(i) cosa= ^-f , où Vizzzdx^-Jrr^-^-z^.
Rds '
Cette équation prend aussi la forme
f \ dK
( 2 ) ces a := -^--— 9
ds
d'où
R = j CCS a 4- const.
On conclut de là que la courbe cherchée est rectifiable , et que Varc croît proportionnellement au rayon vecteur. Si la courbe doit passer par un point A , dont le rayon o A = Ro, et que l'on prenne ce point pour origine des arcs , on aura pour la longueur de l'arc A m
CCS a
Pour calculer la portion de surface conique AwBo, on la décompose en éléments triangulaires iniGniment petits
EXERCICES D^ÀNALYSE. 87
mom ', dont chacun a pour mesure la moitié du produit de sa base ds par sa hauteur ol, qui est Rsina. Ainsi
. , „ /•^•Rrf^sina f^'Rr/R.tanga Rî — RJ aire A/71 Bo=: / = I S- =r — i-r — ^tanga.
Jr. 2 a. 2 4 *"
La transformée de la courbe dans le développement du . cône sur un plan est une spirale logarithmique , puisque l'angle a demeure le même , et qu'ainsi la transformée est une courbe qui coupe tous ses rayons vecteurs sous un angle constant. L'équation de cette spirale se déduit immédiatement de 1 équation (2). En effet , quand on développe la surface conique , R et 5 ne changent pas de longueurs : donc, sur le plan du développement , on a encore
mais
on en conclut
dK
dK = cosctds; ds= s/^fR^-+-R'^w%
R tang a
et RrrrA^^'^^ea.
La courbe primitive, tracée sur le cône, présentera donc la forme d'une spirale qui s'approche de plus en plus du sommet, lequel est un point asympto tique de la courbe.
Bien que cette courbe fasse une infinité de circonvolutions sur la surface conique sans jamais arriver au sommet, la longueur de l'arc compris depuis le point donné A jus-
qu'à ce point asymptote , est finie et égale à -;
Le cas où a = - donne R = const. La transformée est
alors un cercle, et la courbe primitive, sur le cône, est
une courbe sphérigue ^ c'est-à-dire celle qui résulterait de
l'intersection de la surface conique avec une sphère ayant
le sommet pour centre.
Considérons en particulier un cône de révolution autour de l'axe des z. Pour achever de déterminer la courbe, on est naturellement conduit à chercher sa projection sur le plan des xy^ perpendiculaire à l'axe du cône-, et comme il s'agit d'une spirale , on aura recours aux coordonnées polaires. Soit P la projection du point m,
|3 est un angle constant.
On a
r dr
R = -T — -it aR = -r-^ î
sm p sin p
« == r cet p, dzz= dr cot p ds=z \j dr' H- r'ifô^ + dr"" coV^,
Par suite, l'équation (2) donne
dr^ = sin' p cos' a (rfr» -f- r» d^^ -f- dr" cot» P),
d'où
dr . - ,,
— = sinpcotaa©.
équation d'une spirale logarithmique qui coupe ses rayons
vecteurs sous un angle dont la tangente est . ^ -
° sm p
On pouvait obtenir ces résultats , sans calcul intégral , en considérant l'angle trièdre dont le sommet est en m , et qui a pour arêtes la tangente mT , la génératrice o/n, et la parallèle mP à l'axe. Cet angle trièdre a trois éléments constants, savoir : le dièdre droit, dont Farèle est o/w, et les faces adjacentes T!mo = a , P/no = j3 5 il est donc complément déterminé dans ses autres éléments. Donc, le dièdre suivant mP, ou bien sa mesure oPT, est un angle constant. Le lieu des points P est donc une spirale logarithmi-
EXERCICES d'analyse. 89
que ; de plus, o T , intersection de deux plans perpendicu* laires au planPmo, est perpendiculaire à ce plan;. donc Tangle PoT est droit, et Ton a
^„ oT Rtaoga tanc^a ^ oP Rsinp smp
La troisième face PmT de l'angle trièdre est aussi constante. Eu sorte-que la courbe qui coupe toutes les généra^ trîces d'un cône droit sous un angle constant est telle j que ses tangentes font aussi un angle constant ai^ec l'axe du cône. Ceci n'a lieu que dans le cône droit ^ car si l'on a à la fois
ciz ilK
- =. const 9 -;- = const , as- as
il en résulte ^R
dz
= const, ou R = /z, ou x^ -h j' = ( A:^ — 1)2%
équation d'un cône droit.
On peut se proposer de déterminer le plan oscul^iteur de la courbe AmB, son rayon de courbure, le lieu des centres de courbure , etc. Tous ces calculs sont simples et n'offrent pas de difficultés.
3. Nous terminerons cette étude en signalant une propriété remarquable de la courbe dont il s'agit.
Tandis que le point m décrit la courbe AmB, le point T oii la tangente rencontre le plan perpendiculaire à Taxe mené par le sommet du cône , trace une développante de cette courbe.
La démonstration est fort simple. Le triangle rectangle mPT donne
— = — - 9 trou niT z=z z~ t ds m T dz
et difleren liant
d.mT = ds -h zd.--'
dz
dz Or on a vu plus haut que — est une quantité constante \
donc on a simplement
d.mT := ds.
Ainsi , quand on passe du point m à un point infiniment voisin mf , F accroissement infiniment petit de la tangente mT est égal à l'élément mm^ : donc, si l'on suppose un fil flexible et inextensible enroulé sur la courbe mm^B^ et qui s'en sépare tangentiellement suivant mT , et que l'on développe ce fil en le tenant tendu , son.extrémité T ne sortira pas du plan xo/, et tracera sur ce plan une développante de la courbe A/wB.
Cette développante est elle-même une spirale logarithmique; car on a
8in/3
^ smp
EXERCICES D ANALYSE. pi
