SUR LES TRAJECTOIRES ORTHOGONALES

Étant donnée une équation'

(l) F{x,jr,c) = o,

dans laquelle le paramètre c peut recevoir toutes les valeurs possibles, on se propose de trouver une courbe qui coupe à angle droit toutes celles que renferme cette équation.

Supposoi^s qu'on ait attribué à c une certaine valeur, et soient x, y les coordonnées du point où le lieu cherché coupe la courbe qui répond à cette valeur de c *, le coefficient angulaire de la tangente à la courbe en ce point est 7" '• "T" '

et le coefficient angulaire de la tangente au même point du

lieu est -f^* On devra donc avoir ax

. dy dx

dy

Et l'équation (i) est vérifiée par le même système de valeurs de X et j". Si donc on élimine entre les équations (i) et (2) le paramètre c, qui varie d'un point du lieu à un* autre, l'équation résultante conviendra aux coordonnées d'un point quelconque du lieu \ ce sera donc l'équation différentielle de la courbe cherchée . Telle est la méthode générale .

Il peut arriver qu'au lieu de l'équation finie (i) , on ait

ga DEUXIEME PARTIE.

seulement Féqualion diflférentielle des courbes données

Dans ce cas, il n'y a plus d'élimination à faire ^ il suffit,

pour obtenir l'équation des trajectoires orthogonales, de

dy I

remplacer dans Féquation (3) , — par — — •

dx Quand l'équation (3) sera de la forme

di

dy dx

le chaneement de -— en —9 ne modifiera en rien cette

" dx dy

équation diflerentielle. L'intégrale générale des trajectoires orthogonales sera donc la même que l'équation finie des courbes données. Ceci s'explique en remarquant que la constante c entre alors au carré dans cette équation, laquelle représente ainsi deux courbes appartenant à l'un et à l'autre système.

Nous allons appliquer cette théorie à divers exemples.

1. Etant donnée une suite tT ellipses [ou hyperboles) homofocales , déterminer la courbe gui les coupe à angle droit (fig. 10).

L'équation des ellipses de mêmes foyers F, F', rapportées à leur centre O et à leurs axes de direction commune , est

c désignant l'excentricité constante, et b le paramètre variable , qu'il s'agira d'abord d'éliminer entre cette équation et la suivante :

djr b^x

dx (b- -f- c')j

EXEncicES d'analyse. q3

L'équation résultante est

dr

<fe-'-^=°'

Elle convient également aux trajectoires orthogonales d'une suite d'hyperboles homofocales , puisqu'en changeant b^ en — i* dans le calcul précédent , on n'altère en rien l'équation (4).

Pour l'intégrer j on la multiplie par-^> et il vient

\xdx) \ x^ x^j xdx x^

Par cette transformation , on a introduit dans tous les termes j^', x*, et les différentielles j^rf^ , xdx; on est donc conduit à poser

•et l'équation prend la forme

Elle ne renferme les variables qu'au premier degré.

Si on la différentie , comme on le fait d'ordinaire en pareil cas , on sera conduit à une équation renfermant en facteur

-j^ ; d'où l'on conclut que l'on aura une intégrale particulière (au moins), en posant

du ,, -

— = const = a , d où « =. ar -f- p.

D'ailleurs, sans différentier , on voit à priori que l'hypothèse M = a( -f- P transformera l'équation (5) en une équation du premier degré en if , et comme on a deux constantes a , |3 , on pourra en disposer pour annuler le terme en t et le terme indépendant. Or il arrive que le terme en t disparait

de lui-même , et l'on a entre a et j3 la seule relation a =r ^- : donc u = - — î-— -f- S

est Pintégrale générale de l'équation (5) , et, par suite , l'équation des trajectoires orthogonales est

Cette équation représente, pour des valeurs négalwes de (3 , une suite dihyperbolçs ayant mêmes foyers que les ellipses proposées et qui les couperont à angle droit. Ce résultat est facile à vérifier d'après les propriétés des coniques.

Pour des valeurs positives de |3 , l'équation représente une série d'ellipses homofocales qui ne sont autres que les' ellipses proposées , et qui répondraient au problème dans lequel on supposerait donné un système d'hyperboles homofocales.

Nota. L'équation (4), divisée par ay, prend la forme

\dx ) \ ^y ) dx '

dy 1

d'où l'on voit que si l'on y changeait -r ^^ — ^r-? elle ne

dx changerait pas \ par conséquent , elle ne diffère pas de l'équation différentielle qu'on eut obtenue en. éliminant i* «ntçe l'équation des ellipses proposées et sa différentielle immédiate. La remarque qui a été faîte plus haut dans là théorie était donc applicable, et pouvait dispenser 4cs calculs d'intégration auxquels nous avons eu recours , puisque l'intégrale était connue d'avance.

2. Étant donnée une suite de paraboles ayant même axe et même foyer, déterminer la courbe qui les coupe à angle droit.

L'équation des paraboles données , rapportées à l'axe et

EXERCICES d'analyse. gS

au foyer commun , est

dy p L'élimination de p entre cette équation et ^ • — h i = o

donne

\dx ) y dx d*où

dy X ^ x-" -^ y

OU bien

dx y ' y

xdx -f- ydy

+ / f — dx == o.

sj X' -hj'

Le premier membre étant ^ne différentielle exacte, on a pour l'intégrale cherchée

Elle ne diffère pas de l'équation des paraboles données. Selon qu'on attribuera à c des valeurs positives ou négatives, cette équation représentera deux séries de paraboles de même foyer, et chaque parabole du premier système coupera à angle droit toutes celles de l'autre système.

Ici encore, l'équation différentielle étant du deuxième

degré en -^ et ayant pour dernier terme — i, on pouvait

se dispenser de chercher l'intégrale qui était connue d'àvance.

3. Déterminer les trajectoires orthogonales d'une suite (Thjperboles ayant un même centre et les mêmes sommets réels.

En partant de l'équation a* j* — b^ x^ = — a* i', où b est le paramètre variable , on trouvera sans difficulté l'intégrale

g6 DEUXIÈME PARTIE.

A' est une constante arbitraire dont la valeur absolue ne doit pas dépasser le demi-axe transverse a. Si l'on donne à A des valeurs positives , on aura une suite de courbes que Taxe des x divisera en deux parties symétriques, et dont tous les points seront situés du côté des x positifs : ces courbes correspondront aux branches d'hyperboles qui s'étendent dans le même sens, t'inverse aura lieu pour des valeurs négatives de A; et comme en changeant A en -^ A, etj:en — x^ Téquation reste la même, il suffira de construire les trajectoires qui répondent aux valeurs positives de A.

Comme cas particulier , soit A = -; l'équation des trajectoires orthogonales devient

Pour a: = a , on a

on a ainsi deux points de la courbe où l'ordonnée est maximum.

Si l'on pose x = a(i-+- z)^\\ vient

On voit immédiatement que, dès que la valeur absolue de z atteint ou dépasse l'utiité ,^ est imaginaire.

Entre les limites des valeurs dez ^ on pourra développer l(i-hz) en série convergente et calculer approximativement les valeurs de l'ordonnée daiis le voisinage du sommet. Cette courbe fermée est divisée symétriquement par l'axe des X , et coupe cet axe en deux points situés de part et d'autre du sommet. En ces points, la tangente est perpendiculaire à l'axe des x.

Nous nous bornerons à énoncer les solutions des problèmes suivants :

EXERCICES d'analyse. 9^

4. Déterminer les trajectoires orthogonales d'une suite d'hyperboles équilatères ayant les mêmes asymptotes.

On trouve des hyperboles équilatères ayant pour axes les asymptotes des premières.

5. Déterminer les trajectoires orthogonales d'une suite de logarithmiques ayant un point commun et une ménie asymptote (fig. ii).

L'équation des courbes données peut s'écrire

a 'étant le] paramètre variable , et /n la distance du point donné à l'asymptote;.

L'équation des trajectoires orthogonales est

h étant la constante arbitraire. Si on la suppose nulle ^ on a

Pour :r == o 5 on a j == o , lim - == oo .

Pourar== w=îoA,ona y = ii= jw^ ==ii AB, — = o,

l'ordonnée est maximum*, x ne peut dépasser w y' e, c'està-dire à peu près \m = oc ^ et pour cette limite, j- == o ,

f-==oc.

ci.v

6. Déterminer les trajectoires orthogonales d'une suite de droites qui ont pour eni^eloppe une parabole donnée En prenant Téquation de la parabole sous la forme

y = ^px, on est conduit à une équaôon différentielle où y et x n'en-

T Dft^rmsr.^r fef trujt^itairss zr^ih'ir: -i^sL^ tîcme suîie IViqfUDoo «i** <!f% paraboles. •>!!. tr'>ave Ip^ c^-at^^^ ^^S^'

y r ^ ce

l^ doos-uneente est constante et égale a /?

H. Détermmer les trajectoires ort'io^onales des courbes renfermées dans F équation di^êrentielle .

On trooTe l'integrale » * — «Jn- — jr* = o i fcJimn de I>e9cartes^

9. Théokeme. — & ion conçoit deux cydoides égales ayant leurs base^ sur deux droites parallèles , et disposées de manière à se rencontrer^ elles se couperont onhogonalemenf.

EXERCICES D AN4LY.SË. gg