Déterminer un segment mlLm' dont l'aire soit car-^ rable

L^aire mlim^ s obtiendra , en retranchant de la précédente Taire du trapèze m PP'/j*' ou^Jt' — x) (z'-f- j'4- z-hs]^ ce qui donne

. /x -f- x' •— fl\ mUm' = ( flores carrables ) -f- 1-^' — ^) I ) •

Comme s^ ne peut être égal à 5* , il faut et il suffit que

x+x' = « ou CP=roP'.

Ainsi les points P, P' devront tomber entre le sommet C et le centre o , et ils seront respectii^ement à égale distance de ces deux p oin ts .

De plus, on reconnaît aisément que le segment'carrable mlLm^ est équivalent à la différence des deux triangles Dn'V'etDnV,

Si les points P et P' tombent, Tun ausonunet C, l'autre au centre o, on retrouve le segment CI m' considéré (2^) , lequel est équivalent au seul triangle Dn^o (l'autre s'évanouissant), c'est-à-dire au quart du carré inscrit dans le cercle générateur.

5. Déterminer un segment mCQ, tel que la distance de son centre de gratuité au sommet C soit exprimable sans quadrature par une formule algébrique.

Désignons par X| cette distance , par a le segment circu^ laire C/iP-, on a

xr — «

Io6 DEUXIÈME PARTIE.

OU bien , eu égard aux relations •

jr z= z-^- s ^ 0L=z\as — \[a — x)z^ \l^ax — x'^ •== z',

___ (4 j:*H-<7x -+- 3âr^) 2 -4- 3 (2 jc'— fl^) * 6(x + a)z-h6(2J7 — a) s

Pour que celte expression devienne algébrique, il faut qu'elle'soît indépendante de l'arc s : on ne saurait égaler à zéro les coefficients de s dans les deux termes-, car les deux équations en x seraient contradictoires. Mais on devra établir, entre les coefficients de 5, le même rapport qu'entre les parties algébriques du numérateur et du dénominateur, c'est-à-di re^poser

,, ix^-Jr ax-^- Za^ 3 (2jc' — û')

a^que} cas l'expression de x^ «e réduira évidemment à

4 x' -H ûx + 3 a^

qui est indépendantejde s,

(On arrive à la même condition, en exprimant que la dérivée de x^^ par rapport à s est nulle. )

L'équation (i) se réduit à

x[x — 2fl)'= o ;

d'où j;=2fl = CD, et, par suite, x^=:la.

Ainsi, le seul segment compté à partir du som,met , dont le centre de grav^ité puisse être déterminé par une formule algébrique ^ est la cyclo'ide entière.

EXERCICES d'analyse. Io3