THÉORÈMES SUR^LES ENVELOPPES

M. Magnus a démontré (annales deGergonne, t. XVl)? par une analyse assez compliquée , plusieurs théorèmes intéressants sur les enveloppes des cordes d^une courbe plane assujetties à certaines conditions.

La Géométrie pure fournit de ces théorèmes des démonstrations fort simples , que nous présenterons comme exercices de synthèse infinitésimale.

Les trois premières propositions sont conformes à celles de M. Magnus ^ la quatrième manifeste une propriété nouvelle de l'enveloppe des cordes de contact d'un angle circonscrit à une courbe plane.

1 . L'enveloppe des cordes qui sous-tendent des arcs de même longueur dune courbe plane quelconque , touche chacune de ces cordes en un point qui est le symétrique, par rapport au milieu de la corde, du point où elle est coupée par la bissectrice de l 'angle des tangentes menées aux extrémités de l'arc.

Considérons deux cordes inCniment voisines AB, A'B',

qui se coupent en I {fig* i3). Puisque les arcs AB, A'B'

ont même longueur, Tare A A' sera égal à Tare BB' ; or les

deux triangles AA'I, BB'I, qui ont un angle égal en I,

donnent

A1 AA^ sinSAa AA[ B^

BÎ "" bF * sinSB'I ~" BB' ' A'S ' Si Ton passe à la limite, on a •

,. AA' ,. B'S BT ,. AI Ao)

T étant le point de concours des tangentes en A et B, et w la limite encore inconnue des positions du point I, c'est-àdire le point où l'enveloppe touche la corde 5 donc

Aw BT B^^ AT

Mais si H est le point où la bissectrice TH coupe la corde AB,

BT BH j

« BH ,, , (Aw = BH,

— d ou

Bw AH' (Bw = AH:

ce qui démontre que le point w est symétrique du point H par rapport au milieu de AB. c. q. f. d.

Dans le cercle, ces deux points se confondent avec le milieu de la corde.

2. Uens^eloppe des cordes de jnêirie longueur y dans une courbe plane quelconque, touche chacune de ces cordes en un point gui est le symétrique , par rapport au milieu de la corde y du pied de la perpendiculaire abaissée j sur sa direction, du point de concours des tangentes à ses extrémités.

Soient AB, A'B' deux cordes infiniment voisines et égales : de leur point de concours I comme centre, décrivons les deux arcs A'a, B'ft ^ on aura

a6 = A'B' = AB, d'où Atf = B^, et ^ = «7-T-

Lorsque A'B' se rapproche indéfiniment de AB, les di^^ rections des cordes h! a^ B'6 tendent à devenir perpendiculaires à AB5 donc

,. Ma ., Afl.tangSAl ,. taogSAI '"" FÂ = '"" B 6 : tang SBI = ^"° ^[ïipBÏ '

Soit H fc pied de la perpendiculaire abaissée du point s

EXERCICES d'analyse. Io5

sur AB*, on a

langSAI BH , ,. A! a ,. BH

tang SBI AH ^ B' b AH

et y par suite,

,. AI ,. BH *"•" Bî = '*"" AH

Mais la limite du* point H est le pied de la perpendiculaire abaissée du point de concours des tangentes sur AB ; le théorème est donc démontré.

3. L'enveloppe des cordes qui sous-tendent , dans une courbe plane quelconque , des segments équis^alents , touche chacune de ces cordes en son milieu (fig. i5).

Puisque les segments AA'B, A'BB' sont équivalents, il en sera de même des deux secteurs lAA', IBB'; et, comme la limite du rapport de chaque secteur au triangle homologue est Tunité , on aura aussi

,. triangle I A A' ,: lA.IA'

triangle IBB' IB.IB' '

ÏÂ lA

ou lim — = I , ou enfin lim =— = i .

On peut démontrer ce dernier théorème par le calcul , d'une manière assez simple; cependant la démonstration géométrique a Favantage. Voici la démonstration analytique que nous proposerions :

Equation de la courbe AB ... y = 9 [xi) \ %

( I ) Equation de la corde AB .... yzzzax-^-h^

condition d'invariabilité du segment ,

' [(p (.r) — ax — h\dx z=. const.

Io6 DEIJXIEME PAKTIK.

Si l'on diderentie réquation (i) par rapport au paramètre a , en y regardant b comme une fonction implicite de a , déterminée par l'équation (2) , il vient

Le point de contact cherché sera déterminé par le système

des équations (i) et (3), après qu'on y aura remplacé —

par sa valeur tirée de l'équation (2). En difierentiant sous le signe somme , on a

et, si l'on effectue l'intégration indiquée , il reste

' -' db

jr, -2^0

d'où

2 da

db Xfi -t- ^1

Cette valeur, substituée dans l'équation (3), donne, pour Tabscisse du point de contact de la corde et de l'enveloppe,

Xq -+- J7|

Ce qui démontre le théorème énoncé.

4. L'ern^eloppe des cordes de contact d'un angle T invariable, circonscrit à une courbe plane y touche chaque corde en un point qui la divise en deux segments proportionnels aux projections des rayons de courbure adjacents sur la direction de la corde (fig. i6 ).

Soient AB, A' B' deux positions infiniment voisines de Ja

EXERCICES D ANALYSE. lOJ

corde de contact-, (p, <f' les angles que les tangentes AT, BT font avec une droite fixe ; AC , BD les rayons de courbure des points A et B.

Puisque Tangle ATB doit rester invariable , on aura

<p — ç' = const. ; d*oii d<f = d^' ,

^ i. AA' ,. BB' ,. BB'

Or AC =z lim , BD = hm t"? = "^ -7- '•

dy d<f a^

donc