AC ,. AA

bd = '^™bF'

On a, d'ailleurs (1*^),

,. AI ,. AA' sinTAB ,. AA' ces BAC BI BB' sin TBA BB' ces ABD '

donc , en désignant par o) la limite des positions du point I ,

Aa> AC. ces BAC AH B^' ~ BD. ces ABD ~ BK *

Dans le cas du cercle, les points H et R, et par suite le point 0), se confondent avec le milieu de la corde.

Ce théorème n'est pas celui de M. Magnus-, la propriété démontrée analytiquement par ce géomètre se résume dans la construction suivante :

Le point de contact de la corde et de l 'enveloppe est le symétrique , par rapport au milieu de la corde^ du point oii celle-ci est coupée par la perpendiculaire abaissée du sommet T de V angle circonscrit, sur la droite RS qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère ABDC.

Pour déduire cette construction du théorème précédent,tout se réduit à prouver qu'en désignant pare le point où la perpendiculaire abaissée du point T sur RS rencontre AB, on a

As BK As BD.AT

Io8 DEUXIÈME PARTIE.

Cette relation constitue une propriété apparlenant à tout quadrilatère ( ABDC), dont voici l'énoncé :

Si, par le point de concours (T) (fig. 17), des perpendiculaires éleuées de deux sommets consécutifs ( A, B) sur les côtés opposés (AC, BD) qui j aboutissent , on mène une perpendiculaire (Te) à la droite (RS) qui joint les milieux des diagonales, cette perpendiculaire dii^isera le côté AB en deux segments (Ae , Be) inversement proportionnels aux projections des côtés AC et BD sur AB.

En effet, soient P, Q, X, Y les projections des sommets A , B, C , D sur la droite Te, a et j3 les inclinaisons de AT et de BT sur la même droite ^ on a

Afi AP . AP ^^ BQ A/. ^X „, QY

^- = z;7r> AT=-; 5 BT=:-: — ^5 AC = -; 9 BD = -;; — -^

B s PQ sm a sin p sm a sm ^