AA' BB

mm mm

Or, à cause des triangles semblables (mPm', APA') , (mTm', BTB'), on a, en prenant toujours les rapports à leurs limites,

AÂ' PA 4fl— /? BB^ ^a — p' mm' Pm p mm' p'

Substituant dans l'équation précédente , il vient

La figure suppose le point lumineux P intérieur au cercle.

Si le point P était extérieur au cercle, il faudrait changer le signe de p dans la formule (i).

Nous nous bornerons à considérer le cas où le point P est situé sur la circonférence du cercle réflecteur (fig. 19).

Si dans l'équation (1) on fait p = /\a^onen tire p' = i a ; c'est-à-dire mT=^Bm. Le rayon réfléchi touche la caustique en un point dont la distance au point d incidence est le tiers de la corde que produit ce rayon.

Si l'on prend sur le prolongement de PO une distance OR égale au tiers du rayon du cercle , AR sera égale à ^ PA 5 on sorte que le point R sera celui où la caustique rencontre

IIO DEUXIÈME PARTIE.

le diamètre PA qui est à la fois rayon incident et réfléchi. Ce diamètre est évidemment un axe de la courbe.

Un cercle décrit sur PR comme diamètre , interceptera sur chaque rayon incident Pm un segment égal aux | de ce rayon; par conséquent, le segment extérieur sera précisément égal au rayon réfléchi mT, ce qui fournit un moyen simple de construire la caustique par points.

La droite RT est parallèle à la normale Ow. En effet, Om étant bissectrice de l'angle P m S, on a

OS OP |OP OR wS ~~ iwP ~~ ^/w P ~~ ^'

Cette propriété fournirait aussi une construction graphique de la caustique. L'équation de cette courbe en coordonnées polaires s'en déduit très-simplement. En effet, prêtions le point R pour pôle et le diamètre PRA pour axe , et posons RT = r, angle TRA = 0, Om = i. En projetant le contour polygonal ORÏm sur Ow, on a

Om = OR CCS + RT 4- /wT cos 7 0, ou

b = -cosô + r-hjàcos^j9',

d'où l'on tire

(2) r = |^(i — COS0).

La caustique est donc une épicycloïde engendrée par un

point de la circonférence d'un cercle de rayon - > roulant

sur un cercle fixe de même rayon et concentrique au cercle réflecteur.

Cette épicycloïde touche l'axe de symétrie PA au point R, qui est un point de rebroussement , et elle a en P un contact du deuxième ordre avec le cercle réflecteur.

Cherchons la longueur de l'arc PnT que nous désigne-

dr rons par 5. L'équation (2) fournit la valeur de —qu'on

EXERCICES d'analyse. I I I

substitue dans l'expression de ds^ et il vient

d'où

« = — C0S7Ô = ^Vm,

ou encore

sz=Vm + mT.

Ainsi la caustique est rectifiable, et l'arc compté à partir du point lumineux est égal à la somme des deux rayons mcident et réjléchi (ce dernier étant limité au point où il touche la caustique).

La longueur de la demi -caustique PnR est égale au double de sa corde PR.

Si l'on prolonge mT d'une quantité mV égale à /wP, on aura arc PwT = TP'-, par conséquent, le lieu des points P' est une développante de la caustique. L'équation de ce lieu s'obtient en projetant le contour polygonal PO/wP' sur PP', qui est parallèle à Om. Soient PP'=R, P'PA=0 ; on trouve