EXERCICES SUR LE CALCUL DES VARIATIONS

1 . Déterminer, parmi toutes les lignes d'une longueur donnée et terminées à deux points fixes (A, B), celle pour laquelle la somme des produits de chaque élément ds par le carré de sa distance à la droite AB est un majcimum. Cette somme représente, en Mécanique , le moment dUnertie d'une ligne matérielle supposée homogène.

(Ce problème a été proposé au concours d'agrégation de 1848 par M. Sturm , qui a fourni sur ce sujet plusieurs indications utiles à Fauteur.)

Prenons la droite AB pour axe des x [fig^ ^0)9 et le point A pour origine-,, l'intégrale qu'il faut rendre maximum est I [j^ -H z^) ds^ b désignant la distance AB^ et

si 2 /désigne la longueur donnée de la cout*be, on doit avoir h ds ■=. il.

D'après la règle d'Euler pour les maxima relatifs , on posera

Nous allons d'abord démontrer que la courbe est plane.

Comme les limites sont fixes , on peut ne pas attribuer de variations à Tune des coordonnées 5 nous choisirons x pour la symétrie. En effectuant, d'après celte convention, les différentiations indiquées par le signe d dans Téquation

Il4 DEUXIÈME PARTIE.

précédente, puis égalant séparément à zéro les coefficients de dj exdz ^ on obtient les deux équations

dz ^ ' ds

Si Ton multiplie la première par z , la seconde par j^ et qu'on retranche les produits , on a une différentielle exacte dont l'intégrale est

. . I dy dz\

dy dz au point A , ^ et j^ sont nulles ; d'ailleurs les cosinus -j-^ ~r

restent finis : donc la constante c = o. Par suite, comme le facteur (y* -h 5* -h a) (qui se réduit à a au point A) n'est pas nul pour tous les points de la courbe , il faut que L'autre facteur soit nul.

On a donc zdy — jrdzz=zo,

d*où zz=: hy^

équation d'un plan conduit suivant Taxe AB, et dans lequel est située la courbe.

Prenons ce plan pour celui des 3cy, Afin de déterminer plus simplement la forme de la courbe, il convient de reprendre le calcul en partant de l'équation

dans laquelle on pourra ne pas faire varier l'ordonnée j. On obtient ainsi, sans difficulté, l'intégrale première

/ V / . dâc

C étant une constante arbitraire.

KXERCfCES d'analyse. Ii5

On peut toujours faire en sorte que — soil positif au

point A , en y plaçant Torigine des arcs. Cela posé , Fëqua* tion ( I ) montre que les constantes c et a sont de même signe , et, de plus, que c est <^a , puisqu'elle donne, au point A,

c = a ( — J • Remarquons, en outre, que — ne peut devenir négatif en aucun point de la courbe, car il faudrait,

dx pour cela , que — , qui est une fonction finie et continue

de 07, passât par zéro 5 d'où résulterait c = o : ce qui est impossible. Ainsi , Tare et Tabscisse varient constamment dans le même sens de A en B.

Il y a un point C [^fig- 21) dont l'ordonnée est maximum ,

pour lequel— = i. L'ordonnée de ce point est va — c, quantité réelle d'après ce qui a été dit ci-dessus, et pour

y ————— dx dv

toute valeur dej^ ^ ya — c, — serait ^ i, ou ~ imaginaire. On voit ici pourquoi nous sommes partis de l'équation I è [a — j*)rf5= o, et non pas de celle-ci :

S {j* -h a) ds = o^ qui diffère de la précédente par le

signe de l'indéterminée a. En effet, cette seconde forme, tout aussi admissible que l'autre à priori , nous eût conduit à l'ordonnée maximum y = s/c — «, et comme c<^a^ cette ordonnée eût été imaginaire.

La propriété de maximum dont jouit la courbe AwB apprend que cette courbe doit être concave vers Taxe des x dans tout son cours; car si elle était convexe dans le voisinage de A , par exemple (fig- 22), comme elle doit aboutir en B, elle devrait présenter quelque part un point d'inflexion E-, or, en repliant l'arc rentrant EmF autour de la

Il6' DEUXIÈME PARTIE.

rorde EF pour le mettre en saillie Em'F, on agrandirait visiblement les distances des divers éléments de Parc à l'axe AB, sans changer leurs longueurs; et, par suite, l'intégrale I y^ds^ serait plus grande pour la courbe Am'B

que pour AmB, ce qui est absurde. La concavité de la

dx ds

dx courbe vers Taxe étant établie , il en résulte que — va en

croissant avec 5; donc —l — est positif, et, par suite, en

différentiant Téquation (i), on voit que la constante a est positive.

On tire de l'équation (i) ,

yl) dx = "~

Cette valeur de dx est affectée du double signe ± ; mais le signe -f- seul doit être pris à partir de Forigine A jusqu'en C, puisque, dans cet intervalle, y croît avec a:; et, de C en B, on doit prendre le signe — -, ainsi, pour des

valeurs de -j- égales et de signes contraires, on a des valeurs égales de j^ : on en conclut que la courbe est symétrique par rapport h la perpendiculaire à l'axe des x menée

dy par le point C, pour lequel ~- = o. Soit AB = 2 i, l'abscisse AD du point le plus haut sera égale à i , et l'on aura

première équation de condition entre les constantes a et c. Puis , comme la longueur de l'arc AC doit être égale à /, on

EXERCICES D ANALYSE. ny

aura , entre les mêmes constantes, réquation

mais ces quadratures ne sont pas exécutables.

Si la longueur donnée / différait peu de &, en sorte que la courbe ACB dût s'écarter peu de la corde AB , on pourrait négliger y'' sous le radical, et l'expression de dx deviendrait intégrable. Ne considérons que la moitié AC de la courbe, ce qui est permis, vu la symétrie 5 et, pour l'homogénéité, remplaçons a par a' et c par ma'^ m est <^ i .

Nous aurons

am ,df

dx =z — —

ya' (i — 771*) — 2^

sin

ma '

c'est Féquation d'une sinusoïde.

Pour j:=i, l'ordonnée doit atteindre son maximum; d'où l'on conclut

b ^2. rr ma 9.

a \/j — m^ 2.b sfi

L'ordonnée correspondante est

1 mit

par suite, l'équation de la courbe prend la forme

bs/i —

m^ . TTJP

J' = z sm

mit 2 b

où il ne restera plus que la constante m à déterminer, par la condition que la longueur du demi-arc AC soit égale à /. La valeur de m dépendra d'une fonction elliptique.

Bien que nous n'ayons considéré que le signe H- du radical, dans l'intégration précédente, l'équation (d- dessus

Jl8 DEllXiÈME PARTIE.

n'en représente pas moins toute la courbe , puisque la va-

leur de -j- qu'on en tire, change de signe quand x atteint dx

et dépasse h , et reprend de x = è à a: =2 6, les mêmes valeurs absolues que àex=zokx=b,

L'équatîon (2) se présentera de nouveau dans un problème de mécanique , que nous traiterons dans la troisième partie de cet ouvrage (livre premier, chapitre IV).

2. Etant donnés deux plans parallèles, et un point A dans Vun d'eux, on propose de mener de ce point à Vautre plan y une ligne de longueur donnée, telle que Vaire de la surface cylindrique ayant cette ligne pour directrice ^ et pour génératrices des peiyendiculaires terminées aux deux plans, soit maximum ou minimum (fig- 23).

Soit MAN le plan qui renferme le point donné A ; prenons l'autre plan pour celui des xy, et pour axe des z la perpendiculaire abaissée du point A : soit Ao = A; ^o>^o les coordonnées du point indéterminé B, où la ligne cherchée doit rencontrer le plan des xy. Puisque la hauteur h de la surface cylindrique est constante , l'aire de la portion

' sJdx^-{-dy^. Cette in-

tégrale doit être maximum ou minimum, en même temps que I ds 0X1 l s/dx^ + dy^ -h dz^ doit être égale

à une constante /.

La règle des maxima relatifs fournit Téquation

en la développant, on lrou\c Içs trois équations diflercn-

EXERCICES D ÀJVALYSE. liy

lî elles :

, / do: de \

^•^ \fdx^ ■+- dy '

qui se réduisent, comme ou sait, à deux distinctes. D'ail-

leurs 5 en multipliant la première par — > la deuxième

par — ? la troisième par -7- 1 et ajoutant les produits, on

trouve une identité.

L'intégration donne

dx dx ,

«•*• sjdx'^-^dy''

(■) {'i^a—M^^ÇH,

ds ^^1 ^ dy '

dz ds

C, C, C sont trois constantes arbitraires, entre lesquelles il existe une relation que fournit la condition

dx\^ { dyX"^ 1 dz\

mais il est inutile de la chercher.

Quant à l'équation aux limites , les termes relatifs à la limite fixe A disparaissent, et ceux relatifs à la limite B se partagent dans les deux équations suivantes :

f dx dx \ f dr dy \

yd-^ Sldx'^dy^jx, \ds s/dx'--hdy'Jx,

où X et y doivent être remplacées par les coordonnées Xq .

y-Q du point B. Mais, comme les premiers membres de ces équations sont constants pour tous les points de la ligne cherchée, en vertu des équations (i), les constantes C et C sont nulles; par suite, les deux premières équations (i) se réduisent à

dx ( ads \ dy ( ads

On y satisfait d'abord en posant

dx dy

ds ds ^

ce qui indiquerait , pour la ligne cherchée , la direction de l'axe 0^5 Taire de la surface cylindrique correspondante serait nulle.

Cette solution peut être admise comme un minimum dont la surface cylindrique s'approche indéfiniment , à mesure que le point B se rapproche de l'origine o , et que la ligne A/7^B tend à prendre une direction perpendiculaire aux deux plans.

On satisfait ejicore aux équations (2) en posant

(3) sjdx^ 4- f(r = + ads = o.

Or on a

sjdx'^ -h dy"" = \Jds^ -^ dï'\ on en conclut

dz=zdo.\J \ — a"^ . ds.

Ce résultat s'accorde avec la troisième des équations (i) qui est une conséquence des équations (2). L'intégration donne

=: \Ji — à'

En convenant de compter l'arc s , à partir du plan des a,j. on déterminera la constante a par la condition que , pour

EXERCICES d'analyse. 121

z =. h^ on ait s = l^ d'où ^ i — a* = — . On a eniiu

Ainsi, Tanalyse ne fournit qaune relation entre l'arc, compté à partir de Tun des plans , et Vordonnée perpendiculaire à ce plan ^ l'ordonnée croît proportionnellement à l'arc : la ligne cherchée est donc une hélice. Quant à la surface cylindrique sur laquelle cette hélice est située, et dont Taire est un maximum, elle est indéterminée de forme et de position \ seulement, l'arc o«B . qui lui sert de base, sera assujetti à une condition de longueur. En eflel , désignons

par a Tare B/i dont la dilïérentielle est sj dx* -{- dj^ -^ l'équation (3) dans laquelle on remplacerai par sa valeur, donne

da = as , d ou o" = Sy

et si Ton fait 5 = /, on en tire arc B na == sjl^ — A*. Tous les cylindres qui auront pour base une courbe de cette longueur, quelle que soit d'ailleurs sa forme , auront une aire équivalente à Faire maximum.

Réciproquement , quand on aura fait choix d'une courbe

onB dont la longueur soit y^/* — A* , la figure de la ligne A /TiB sera déterminée parla condition qu'elle soit un arc d'hélice tracé sur la surface cylindrique AonB.

En effet , soit z l'ordonnée mîi correspondant à un arc B^i = 0", on aura z =:^ k g^ k étant un coefficient existant dont la valeur s'obtiendra en faisant à la fois

z=:h, T=V/' — A% d'où >< = >-

vi , par suite ,

On en conclut la difiiérentiellc de Tare 5 ou B/71 :

ds = s/(itT^ -h dz^ = dzi/ i -\ — = - dz,

d'où

et pour z ^=ih^ s =^l ^ ce qui devait être.

Solution synthétique du même problème . — On peut obtenir sans calculs tous les résultats auxquels nous venons de parvenir.

Supposons que la surface cylindrique qui jouit de la propriété du maximum ait été développée sur un plan; le développement sera un rectangle AoQM, dont la base oÇ^ aura même longueur que l'arc o« B , et puisque la hauteur Ao est une constante donnée A, cette base devra être maximum , en même temps que la ligne* menée du point A au point Q (transformée de la ligne AmB), aura une longueur donnée/; ilJPaut donc que cette tranformée soit une ligne droite, et, par suite, la ligne A/nB dans Fespace sera

un arc d'hélice. De plus , on aura oQ = \//* — h^. Telle est donc aussi la longueur de l'arc o//B , base de la surface cylindrique, etc.

Remarque. — Si le point B, au lieu d'être seulement assujetti à être situé dans le plan des xj^ avait été donné par la question , ainsi que A , en sorte que la ligne cherchée dût aboutir à djeux points fixes des deux plans , la synthèse précédente subsisterait sans modification , et la ligne qui , menée du point A aupoint B, engendrerait une aire cylindrique maximum, serait toujours un arc d'hélice. Mais, indépendamment du maximum, il existe alors une' aire cylindrique minimum , différente de zéro. En effet , la surface cylindrique dont Faire est minimum, doit avoir pour base, sur le plan des xy ^ la ligne la plus courte que Fon puisse tracer

EXERCICES d'analyse. 123

du point o au point B. Donc , cette base sera la ligne droite oB, et, par conséquent, la surface cylindrique sera le plan AaBC.

Quant à la directrice qui va de A à B , sa figure est indéterminée : elle doit seulement satisfaire à la condition que sa longueur soit égale à /. Le problème ne sera possible qu^autant que Ton aura

>\lh^

Il est à remarquer qu'ici la surface cylindrique à aire minimum est déterminée, et la ligne AmB reste arbitraire, tandis que pour la surface cylindrique à aire maximum, c'était le contraire qui avait lieu.

Le calcul des variations, appliqué au cas qui nous occupe, où la limite B est supposée fixe, ne rend pas un compte exact des faits que la synthèse a mis en évidence d'une manière si simple :

L'équation aux limites est alors identique et ne fournit plus aucun renseignement sur les constantes C et C qui entrent dans les deux premières équations (i). En les divisant Tune par l'autre , on trouve

- = , dou r=c^-

La projection de la ligne AmB sur le plan des ocy est

donc la ligne droite oB , e t , par suite , la surface cylindrique

se réduit au plan AoBC. Comme les coordonnées Xq^Jq du

C r point B doivent vérifier l'équation précédente , on a ^=~ ^

Ce rapport est ainsi complètement déterminé , indépendaHHment de la constante a et de la longueur donnée /; mais

Tcquation -- = ~ ne peut tenir lieu des deux équations (i) ^

l'24 DErXlÈME PARTIE.

et si Ton remplace dans l'une d'elles -- par sa valeur, et

sjdx^-^- dy^ ipaLT^ds^ — t/s% on en tire

—- = CODSt.

La projection sur le plan des zx serait donc aussi une ligne droite, et, par suite, la ligne A mB dans l'espace serait droite , ce qui est en contradiction avec les résultats obtenus plus haut.

La règle d'Euler, pour les maxima relatifs, paraît donc ici en défaut. Cette anomalie tiendrait-elle à ce que le point B étant donné de position, la projection de la ligne cherchée sur le plan des xy est par cela même déterminée, ^ans que la longueur l de la ligne j entre pour rien^ en sorte que celle-ci reste entièrement arbitraire? L'intégrale

s/dx'

Hj^ étant alors un minimum absolu, la recherche de la surface cylindrique , dont l'aire est minimum , ne serait pas , à proprement parler, une question de minimum relatif.

3. On suppose que la différentielle d'une fonction T des variables x^jy z soit exprimée par

X, y^ z étant des fonctions connues de x, y^ z. et Von propose de déterminer , entre toutes les courbes terminées à deux points donnés j celle pour laquelle Vintégrale

Jf T!ds est un minimum [ds est l'élément différentiel de

l'arc de la courbe cherchée, etoTo 5 «^i désignent les abscisses des deux points donnés) \ on doit avoir

i S{Tds) = o,

EXF.KCICKS I) ANALYSE. 125

CHP'-^P-"

ds j

^//3l4-r/.f(X^îj^-hY^7 4-Z(î«) =0.

Intégrant par parties les termes où les caractéristiques <î, d sont superposées , et remarquant que la partie hors du signe / qui provient de cette intégration est identiquement nulle à cause des limites fixes, on trouve les trois équations

(l.T — Hds =z o,

dz d.T -;- — Jjds =0:

deux d'entre elles comportent la troisième, en vertu de la relation (i). Ces équations sont précisément celles qui déterminent la figure d'équilibre d'un fil flexible et inextensible attaché aux deux points donnés , et dont chaque point est soumis à l'action d'une force ayant pour composantes rapportées à l'unité de longueur, X, Y, Z; la fonction (T) représente la tension en ce point.

Cette remarque nous dispense d'insister sur l'intégration de ce système d'équations.

Si la courbe cherchée avait été assujettie à avoir entre les deux points extrêmes une longueur donnée /, on aurait posé, conformément à la règle des maxima relatifs.

$(T -ha)ds=.o,

a étant une constante indéterminée-, et il est clair qu on serait parvenu à trois équations qui n'auraient différé des précédentes, qu'en ce que T aurait été changé en T -h a.

Ces équations appartiendraient encore à la ligure d'équilibre d'un fil flexible placé dans les mêmes conditions que ci-dessus , et ayant de plus la longueur donnée /.

Ainsi l'analyse nous conduit à cette propriété remarquée par Euler, que si Xdx -f- Yrf/ H- Zdz est une différentielle exacte dT d'une fonction des trois variables x^ y^ z^ la courbe formée par le fil en équilibre sous l'action des forces (X , Y, Z), sera , entre toutes les courbes de même longueur passant par les deux mêmes points , celle pour laquelle l'in-

tégrale i Tds prise entre ces points est un minimum.

Ce théorème s'étend , sans difficulté , au cas où la courbe est assujettie à être située sur une surface.

4. Déterminer une courbe plane , d'une longueur don* née^ et terminée à deux points fixes, telle que F ordonnée de chacun de ses points y perpendiculaire à un ajce donnée soit proportionnelle à une certaine puissance de V ordonnée correspondante à la même abscisse ^ d*une deuxième courbe, dont Vaire rapportée au même axe et aux deux limites fixes soit un maximum.

Soient (xo 5/0)9 («^1 5.7i ) les coordonnées des deux points limites A et B {fig- 24) ^ y, Y deux ordonnées correspondantes mP, m'V des deux courbes*, on a par hypothèse

keln étant des quantités constantes données , et la condition du maximum s'exprime par

On trouve sans difficulté

, cIjc

Ajr"^ a -j- = c, as

EXKRCICKS D ANALYSE. 12^

c étant une constante arbitraire; d'où

Pour « = 2 , cette équation est celle de la courbe nommée élastique.

Pour n = J et c = , cette équation représente une cy-

cloïde dont le cercle générateur a pour diamètre -r* L'hypothèse c = G répond au cas où les deux points extrêmes A et B, au lieu d'être fixes, sont assujettis à rester sur des parallèles à Taxe ox.

Pour n = j , et en général pour toute valeur de /* de la

forme ? on trouvera une courbe algébrique.

ISiS DEIXIÈME PARTIE.