EXERCICES SUR LES MAXIMA ET MINIMA

1. Déteiyniner le volume maximum intercepté dans un hémisphère donné par un parallélipipède rectangle dont la hase oPQR (fig. 25) a Vun de ses sommets o au centre de la sphère, tandis que le sommet opposé Q est situé sur la périphérie.

Soient R le rayon de la sphère, oP = a, oR = /3-^ V le volume o PQRSZT 5 on a

V = I dx i dy V^R=—x' — jr% a'+ p'= R^ En effectuant Tintégration relative à y^ il vient,

(î) V=r / dx [i- 6 y/R^ ^ p^ — ^^ -f- 1 (R^ — j;^) arc sin ,-J— 1 Jo L y/R'^x'J

On pourrait achever l'intégration , mais cela n'est pas nécessaire pour la détermination des dimensions du parallélipipède maximum. L'expression précédente de V peut s'écrire

dx.

Or la condition du maximum fournil l'équation

^V dV d^

dcf. d^ da

j3 est liée à a par la relation

a' 4- 3' = R% d'où Ton tire J = — ^ , ' doi ^

EXlîllCICES t)'ANALYSE. I 2(j

et , par suite ,

Cbmme — ne diffère évidemment de — que par le changement de a en j3, et réciproquement, on aperçoit qu'on aura une solution de Téquatiou (2) en posant a = |3 = jR ^ ; mais on ne voit pas que cette sçlution soit la seule. Calculons les deux dérivées de la fonction V,

JX3=:/{a, p)= HR'- «')arcsin — L ===^\

(Ce dernier calcul n^était pas nécessaire, vu la symétrie déjà remarquée.) Substituant dans l'équation (2), il vient

p» — a^ = o , d'où p = a.

La valeur correspondante de la différentielle seconde de la fonction V, ou

est négative et égale à — tt. ' . . < ^^

Ainsi , le parallélipipède qui intercepte le volume maximum, a pour base un carré; son côté est moitié du côté du carré inscrit dans le grand cercle de là sphère.

Au reste, la valeur du volume V peut être calculée par la géométrie ordinaire , en remarquant que ce volume est la différence entre le quart de l'hémisphère et la somme de deux calottes APQT, BQRS ; on trouve ainsi , sans supposer

l3o DEUXIÈME PARTIE.

et pour a = p = -— 9

son rapport au huitième de la sphère est ( j v/2 — i).

Si l'on n'avait pas supposé que le sommet Q de la base ' aboutit à la périphérie, le calcul de V n'aurait plus été praticable par la géométrie ordinaire; il aurait fallu achever l'intégration indiquée dans la formule (i).

On trouve d'abord

^P 1 dx y/R-^ — ^' — x^ dx

rr-iap y/R» — a' — fi'^ 4- 7 S^R^— SM arc sin -7=^= .

La seconde partie

- 1 ( R' — - x'^ ) arc sin - r dx

est moins simple 5 l'intégration par parties la fera dépendre de l'intégrale

Jo (R2 — .r')v/R

-zr \ X^ dx

Km lieu de la réduire aux fractions rationnelles , il vaut mieux remarquer que

, . B^ ^^dx a.arcsm ^ — =

Ajoutons cette différentielle, multipliée par un facteur indéterminé m , à celle qu'il s'agit d'intégrer 5 il viendra

R' — -^j^^+mRp

dxz=:A-hf^i. arc sin

o (R^— ar') VRV ?'— '^' ^(R'-- PO (R',— ^')

EXERCICES d'analyse. l3t

Or on peut disposer de m de manière que le numérateur du premier membre

soit divisible par R' — x* 5 en effet, le reste de la division

est nul pour m = — ? et le quotient est ^ •

D'après cela , il vient

1 /*« 2R^ — x^ , , 2R^ . Bx

« I -, — dx=: A =— arc sin '^ .

Le calcul de Â est ainsi ramené à celui de Tintégrale * 2R» — jr'

dx^ qui s'obtient aisément.

v^R'-p'-^' Toute substitution faite, on trouve

V=::^aBV^R'^^'— P' + ^p(3R»— p')arcsin - -''

I ô I ff ft

^a(3R' — ttMarrsifi — -R^arrsin '^ .

On pourra discuter cette expression , dans l'hypothèse où la base du parallélipipède est un carré n'aboutissant pas à la périphérie , c'est-à-dire où a = |5 5 chercher la condition pour que le volume s'exprime algébriquement sans arc sinus, etc.

2. Déterminer les dimensions d'un cylindre droit in^ scrit dans une sphère donnée, telles que la surface ou le volume soit maximum, (Annales de Gergohne. )

En faisant varier la demi-hauteur x depuis zéro jusqu'au rayon R , on reconnaît , à priori , que la surface latérale et le volume sont susceptibles de maximum. Mais rien n'indique qu'il y ait un maximum pour la surface totale.

l32 DELXIÈME PARTIE.

Le calcul donne :

Surface latérale. ... S = 4^^ -^ ^R* — -^S

Surface totale 2 = ^Ttx v^R' — x'-f- 27r(R» — x'),

Volume V=2 7r.r(R' — x').

IQ.

L'équaliori — = o donne

Ce A

x = -RV2: -— - se réduit à — iGtt; S = 27^R^

Le cylindre dont la surface latérale est maximum, a donc pour hauteur le côté du carré inscrit, et pour rayon de base la moitié de cette hauteur : sa surface est double de celle d'un grand cercle.

L'équation -— = o donne * ax

(lox'— 3R')=4- i2iR^ = o,

d'où l'on ne tire que des valeurs imaginaires pour jr : il n'y

a , pour la surface totale , ni maximum ni minimiun.

d\ Enfin , l'équation —^ = o donne

x:;r-Ry;3- - sereduita ~47rî i-hpr v/2 I ; V=:4^1— ^)

En conséquence , le cylindre dont le volume est maximum a pour hauteur les deux tiers du triangle équilatéral inscrit , et le volume est triple de celui d'une sphère dont cette hauteur serait le diamètre.

3. Pajmitous les arcs de cercle d'une longueur donnée et de rayons différents ^ déterminer celui auquel correspond un segment maximum. (Annales de Gergonne, t. XV. )

Soient /la longueur de l'arc A CB (Jig* 26 ) , o: le rayon OA , y l'aire du segment ACBI-, on a

aire ACBI = secteur OACB — triangle OAB,

EXERCICES d'analyse. i33

ou rz=:~lx x^ sm - •

' Cette formule convient au cas où le segment excéderait le demi-cercle 5 en ayant égard au signe du sinus.

En égalant à zéro — ? il vient

CCS

— I /ces 2a: sm — |

• On satisfait à cette équation de deux manières , en posant

ces — = o , ou tang — =

IX 2X 2 .r

La première solution

ces

== o donne x =

n étant un nombre positif quelconque. La valeur corcspon-

dante de -7^, est — 2 (2 w -f- 1) tt.

ax^

Donc il y a maximum. On trouve ainsi une infinité de segments maxima , dont les aires sont données par la formule

Le segment maximum maximorum correspond à n = o ^

dou